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東京大学 1975年文系第3問解説

方針・初手

2つの放物線の交点の $x$ 座標を求め、上側にある放物線から下側にある放物線を引いたものを定積分して面積を計算する。その際、定積分は $\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) dx = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$ の公式（いわゆる $\frac{1}{6}$ 公式）を利用して簡略化する。面積が定義されるためには、2つの放物線が異なる2つの交点をもつ必要があるので、交点の存在条件（2次方程式の判別式）も確認する。

解法1

2つの放物線をそれぞれ $C_1: y = x^2$, $C_2: y = -(x - a)^2 + b$ とする。これらが囲む図形が存在するためには、$C_1$ と $C_2$ が異なる2つの交点をもつ必要がある。

$y$ を消去して、

$$ x^2 = -(x - a)^2 + b $$

展開して整理すると、

$$ 2x^2 - 2ax + a^2 - b = 0 $$

この $x$ についての2次方程式の判別式を $D$ とすると、異なる2つの実数解をもつ条件は $D > 0$ であるから、

$$ \frac{D}{4} = (-a)^2 - 2(a^2 - b) = -a^2 + 2b > 0 $$

すなわち、$2b - a^2 > 0$ であることが必要である。

このとき、方程式の2つの実数解を $\alpha, \beta$ （$\alpha < \beta$）とすると、解の公式より

$$ x = \frac{a \pm \sqrt{-a^2 + 2b}}{2} $$

であるから、

$$ \beta - \alpha = \frac{a + \sqrt{-a^2 + 2b}}{2} - \frac{a - \sqrt{-a^2 + 2b}}{2} = \sqrt{-a^2 + 2b} $$

となる。

区間 $\alpha \le x \le \beta$ においては、放物線の凸の向き（$C_1$ は下に凸、$C_2$ は上に凸）より $C_2$ が $C_1$ の上側にあるため、囲まれる図形の面積 $S$ は

$$ S = \int_{\alpha}^{\beta} \left\{ -(x - a)^2 + b - x^2 \right\} dx $$

$$ S = \int_{\alpha}^{\beta} (-2x^2 + 2ax - a^2 + b) dx $$

$$ S = -2 \int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) dx $$

となる。ここで、公式 $\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) dx = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$ を用いると、

$$ S = -2 \left\{ -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3 \right\} = \frac{1}{3}(\beta - \alpha)^3 $$

となる。これに $\beta - \alpha = \sqrt{-a^2 + 2b}$ を代入すると、

$$ S = \frac{1}{3} (\sqrt{-a^2 + 2b})^3 = \frac{1}{3} (-a^2 + 2b)^{\frac{3}{2}} $$

問題の条件より $S = \frac{1}{3}$ であるから、

$$ \frac{1}{3} (-a^2 + 2b)^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3} $$

$$ (-a^2 + 2b)^{\frac{3}{2}} = 1 $$

両辺は実数であるから、

$$ -a^2 + 2b = 1 $$

$$ b = \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2} $$

このとき、$-a^2 + 2b = 1 > 0$ であり、2つの放物線が異なる2つの交点をもつ条件を満たす。

解法2

交点の $x$ 座標の差 $\beta - \alpha$ を求める際に、解と係数の関係を利用する。

解法1と同様に、交点の $x$ 座標は2次方程式 $2x^2 - 2ax + a^2 - b = 0$ の実数解である。異なる2つの実数解 $\alpha, \beta$ （$\alpha < \beta$）をもつための条件は $-a^2 + 2b > 0$ である。

解と係数の関係より、

$$ \alpha + \beta = a $$

$$ \alpha \beta = \frac{a^2 - b}{2} $$

である。このとき、

$$ (\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta = a^2 - 4 \cdot \frac{a^2 - b}{2} = -a^2 + 2b $$

$\beta - \alpha > 0$ より、

$$ \beta - \alpha = \sqrt{-a^2 + 2b} $$

を得る。これ以降は解法1と同様に定積分を計算し、$S = \frac{1}{3} (\beta - \alpha)^3$ から条件式を導く。

解説

2つの放物線で囲まれた図形の面積を計算する典型問題である。計算量を減らすためにいわゆる「$\frac{1}{6}$ 公式」を正しく使えるかがポイントとなる。今回は被積分関数の $x^2$ の係数が $-2$ となるため、公式を適用する際にくくり出した $-2$ と公式の $-\frac{1}{6}$ を掛け合わせる部分で計算ミスをしないよう注意したい。

また、図形が存在するための大前提として「2つの放物線が異なる2点で交わる」こと、すなわち判別式 $D>0$ の確認を忘れないようにする。結果的にこの条件は求まった等式（$-a^2 + 2b = 1 > 0$）から自然に満たされるが、必要十分条件を求める問題である以上、論理の欠陥を防ぐために初手で交点をもつ条件に言及しておくべきである。