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東京大学 1979年文系第1問解説

方針・初手

正方形 $Q$ 内の点の座標を $(x, y)$ とおき、一次変換 $U_t, V_t$ による像をそれぞれ $(X, Y)$ とおいて、変換後の領域を表す不等式を求める。得られた2つの領域の共通部分を連立不等式として表し、その図形的な形状から面積 $S(t)$ を立式する。 $t$ の値による場合分け（特に共通部分が潰れるかどうか）に注意しながら $S(t)$ を求め、微分を用いて最大値を調べる。

解法1

正方形 $Q$ の領域は、

$$ 0 \leqq x \leqq 1, \quad 0 \leqq y \leqq 1 $$

である。 $U_t$ の成分は $t+t^2 = t(1+t)$ と因数分解できるため、$U_t = \begin{pmatrix} 1+t & t(1+t) \\ 0 & 1+t \end{pmatrix}$ と表せる。 $Q$ 内の点 $(x, y)$ が $U_t$ によって点 $(X, Y)$ に移るとすると、

$$ \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+t & t(1+t) \\ 0 & 1+t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

$$ \begin{cases} X = (1+t)x + t(1+t)y \\ Y = (1+t)y \end{cases} $$

$t \geqq 0$ より $1+t > 0$ であるから、$x, y$ について解くと

$$ x = \frac{X - tY}{1+t}, \quad y = \frac{Y}{1+t} $$

これを $Q$ の条件に代入して、

$$ 0 \leqq \frac{X - tY}{1+t} \leqq 1 \iff tY \leqq X \leqq tY + 1+t $$

$$ 0 \leqq \frac{Y}{1+t} \leqq 1 \iff 0 \leqq Y \leqq 1+t $$

これが $Q$ の $U_t$ による像 $Q_U$ を表す条件である。座標の文字を $(x, y)$ に戻すと、$Q_U$ は

$$ \begin{cases} 0 \leqq y \leqq 1+t \\ ty \leqq x \leqq ty + 1+t \end{cases} $$

となる。

同様に、$V_t = \begin{pmatrix} 1+t & 0 \\ t(1+t) & 1+t \end{pmatrix}$ について、$U_t$ との対称性（$x$ 成分と $y$ 成分の役割が入れ替わっている）から、$Q$ の $V_t$ による像 $Q_V$ は、

$$ \begin{cases} 0 \leqq x \leqq 1+t \\ tx \leqq y \leqq tx + 1+t \end{cases} $$

となる。

共通部分 $D = Q_U \cap Q_V$ は、これら4つの不等式を同時に満たす領域である。ここで、$0 \leqq x \leqq 1+t$ かつ $0 \leqq y \leqq 1+t$ のもとで、$t \geqq 0$ であるから $tx \geqq 0, ty \geqq 0$ である。したがって、$y \leqq 1+t \leqq tx + 1+t$ および $x \leqq 1+t \leqq ty + 1+t$ は常に成り立つため、$D$ を定める条件は以下のように簡略化される。

$$ D: \begin{cases} 0 \leqq x \leqq 1+t \\ 0 \leqq y \leqq 1+t \\ ty \leqq x \\ tx \leqq y \end{cases} $$

これを $t$ の値によって場合分けして面積 $S(t)$ を求める。

(i)

$t \geqq 1$ のとき

不等式 $tx \leqq y$ と $ty \leqq x \iff y \leqq \frac{1}{t}x$ より、

$$ tx \leqq \frac{1}{t}x \iff t^2 x \leqq x \iff (t^2 - 1)x \leqq 0 $$

$t \geqq 1$ より $t^2 - 1 \geqq 0$ であり、$x \geqq 0$ であるから、これを満たすのは $x = 0$ のみである。このとき $y = 0$ となり、共通部分は原点 $(0, 0)$ のみとなる。よって、$S(t) = 0$ である。

(ii)

$0 \leqq t < 1$ のとき

$ty \leqq x$ は $y \leqq \frac{1}{t}x$ と書ける。$t < 1$ より $t < \frac{1}{t}$ であるから、直線 $y = tx$ は直線 $y = \frac{1}{t}x$ より下側にある。領域 $D$ は、正方形 $0 \leqq x \leqq 1+t, 0 \leqq y \leqq 1+t$ のうち、2直線 $y = tx$ と $y = \frac{1}{t}x$ に挟まれた部分である。直線 $y = tx$ と $x = 1+t$ の交点は $(1+t, t(1+t))$ であり、$t < 1$ より $t(1+t) < 1+t$ となるため、この交点は正方形の右辺上にある。同様に、直線 $y = \frac{1}{t}x \iff x = ty$ と $y = 1+t$ の交点は $(t(1+t), 1+t)$ であり、正方形の上辺上にある。したがって、領域 $D$ は、1辺の長さが $1+t$ の正方形から、底辺 $1+t$, 高さ $t(1+t)$ の直角三角形を2つ取り除いた六角形（図形としては四角形）になる。よって、その面積 $S(t)$ は、

$$ \begin{aligned} S(t) &= (1+t)^2 - 2 \times \frac{1}{2} (1+t) \cdot t(1+t) \\ &= (1+t)^2 - t(1+t)^2 \\ &= (1-t)(1+t)^2 \end{aligned} $$

（i）, （ii）より、$S(t)$ は以下のようになる。

$$ S(t) = \begin{cases} (1-t)(1+t)^2 & (0 \leqq t < 1) \\ 0 & (t \geqq 1) \end{cases} $$

次に、関数の増減と最大値を調べる。 $0 \leqq t < 1$ において、微分すると

$$ \begin{aligned} S'(t) &= -(1+t)^2 + (1-t) \cdot 2(1+t) \\ &= (1+t) \{ -(1+t) + 2(1-t) \} \\ &= (1+t)(1 - 3t) \end{aligned} $$

$S'(t) = 0$ となるのは、$0 \leqq t < 1$ の範囲では $t = \frac{1}{3}$ である。 $t \geqq 0$ における $S(t)$ の増減表は次のようになる。

$t$	$0$	$\cdots$	$\frac{1}{3}$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$S'(t)$		$+$	$0$	$-$		$0$
$S(t)$	$1$	$\nearrow$	$\frac{32}{27}$	$\searrow$	$0$	$0$

したがって、$S(t)$ は $t = \frac{1}{3}$ で最大値 $\frac{32}{27}$ をとる。

グラフの概形については、増減表の結果から以下の特徴を持つ曲線を描けばよい。

$y$ 軸との交点は $(0, 1)$ である。
$t = \frac{1}{3}$ で極大値かつ最大値 $\frac{32}{27}$ をとる。
$t \geqq 1$ の範囲では $t$ 軸と重なる（$S(t) = 0$）。
$t \to 1-0$ のとき $S'(1) = 2 \cdot (-2) = -4$ であり、$t=1$ でグラフは滑らかに繋がらずに折れ曲がる。

解説

領域の面積を求める問題では、写像された図形の条件を素直に不等式で表すことが定石である。本問では、2つの平行四辺形の共通部分を求めることになるが、式を丁寧に整理すると、$y \leqq tx + 1+t$ などの上限の条件が自明なものとして消去され、非常にシンプルな条件式（原点を通る2直線の間と正方形の共通部分）に帰着する。この簡略化に気づけるかどうかが計算量を減らす最大のポイントである。また、グラフの概形を描くにあたって、$t=1$ で関数が $0$ に潰れることと、その接続点で左側微分係数が $0$ にならない（グラフが折れ曲がる）ことを正しく把握しておく必要がある。