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東京大学 1984年文系第1問解説

方針・初手

$t$ と解 $\alpha, \beta$ の大小関係を把握することが最初の目標である。絶対値を外すためには、$t$ が $\alpha, \beta$ に対してどの位置にあるかを知る必要がある。$y = f'(x)$ のグラフを考え、$x=t$ における値 $f'(t)$ の符号を調べることで、これら3者の位置関係を明らかにする。

解法1

$f(x) = (x^2 - 3x + 2)(x - t)$ を展開すると、

$$ f(x) = x^3 - (t+3)x^2 + (3t+2)x - 2t $$

これを $x$ で微分すると、

$$ f'(x) = 3x^2 - 2(t+3)x + 3t + 2 $$

方程式 $f'(x) = 0$ の判別式を $D$ とすると、

$$ \frac{D}{4} = (t+3)^2 - 3(3t+2) = t^2 - 3t + 3 = \left( t - \frac{3}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} > 0 $$

したがって、$f'(x) = 0$ は常に異なる2つの実数解 $\alpha, \beta \ (\alpha < \beta)$ をもつ。

ここで、$t$ と $\alpha, \beta$ の大小関係を調べるために $f'(t)$ を計算する。

$$ \begin{aligned} f'(t) &= 3t^2 - 2(t+3)t + 3t + 2 \\ &= t^2 - 3t + 2 \\ &= (t-1)(t-2) \end{aligned} $$

$y = f'(x)$ のグラフは下に凸の放物線であり、$x$ 軸との交点が $\alpha, \beta$ である。したがって、$f'(t)$ の符号により $t$ と $\alpha, \beta$ の位置関係は次のように分類される。

$f'(t) < 0$ のとき、$\alpha < t < \beta$
$f'(t) = 0$ のとき、$t = \alpha$ または $t = \beta$
$f'(t) > 0$ のとき、$t < \alpha$ または $\beta < t$

考える範囲は $1 \leqq t \leqq 3$ であるから、この区間を $f'(t)$ の符号にしたがって場合分けする。

(i)

$1 \leqq t \leqq 2$ のとき

$f'(t) \leqq 0$ であるから、$\alpha \leqq t \leqq \beta$ が成り立つ。

したがって、求める関数を $g(t)$ とおくと、

$$ \begin{aligned} g(t) &= |t - \alpha| + |t - \beta| \\ &= (t - \alpha) - (t - \beta) \\ &= \beta - \alpha \end{aligned} $$

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = \frac{2(t+3)}{3}, \ \alpha\beta = \frac{3t+2}{3}$ であるから、

$$ \begin{aligned} (\beta - \alpha)^2 &= (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta \\ &= \frac{4(t+3)^2}{9} - \frac{4(3t+2)}{3} \\ &= \frac{4}{9} \left\{ (t^2 + 6t + 9) - 3(3t+2) \right\} \\ &= \frac{4}{9} (t^2 - 3t + 3) \end{aligned} $$

$\beta > \alpha$ より、

$$ g(t) = \frac{2}{3}\sqrt{t^2 - 3t + 3} = \frac{2}{3}\sqrt{\left( t - \frac{3}{2} \right)^2 + \frac{3}{4}} $$

$1 \leqq t \leqq 2$ において、$g(t)$ は $t = \frac{3}{2}$ のとき最小値 $\frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ をとる。また、$t = 1, 2$ のとき最大値 $\frac{2}{3}$ をとる。

(ii)

$2 < t \leqq 3$ のとき

$f'(t) > 0$ であるから、$t < \alpha$ または $\beta < t$ である。

ここで、$y = f'(x)$ の軸は直線 $x = \frac{t+3}{3}$ である。$t$ と軸の大小を比較すると、

$$ t - \frac{t+3}{3} = \frac{2t-3}{3} $$

$2 < t \leqq 3$ においては $\frac{2t-3}{3} > 0$ であるから、$t$ は軸よりも右側にある。したがって $\beta < t$ が成り立つ。

よって、

$$ \begin{aligned} g(t) &= |t - \alpha| + |t - \beta| \\ &= (t - \alpha) + (t - \beta) \\ &= 2t - (\alpha + \beta) \\ &= 2t - \frac{2(t+3)}{3} \\ &= \frac{4t - 6}{3} \end{aligned} $$

これは $t$ についての単調増加関数であるから、$2 < t \leqq 3$ において、$g(t)$ は $t = 3$ のとき最大値 $g(3) = 2$ をとる。下限は $t \to +2$ のとき $g(2) = \frac{2}{3}$ である。

（i）と（ii）を合わせると、区間 $1 \leqq t \leqq 3$ における $g(t)$ の最大値は $t = 3$ のときの $2$、最小値は $t = \frac{3}{2}$ のときの $\frac{\sqrt{3}}{3}$ である。

解説

絶対値を含む関数の最大・最小を求める問題である。絶対値記号を外すためには中身の正負、すなわち $t$ と $\alpha, \beta$ の大小関係を特定する必要がある。解の公式を用いて直接 $\alpha, \beta$ を $t$ で表して大小を比較することも不可能ではないが、ルートを含む式の扱いが煩雑になる。

本問のように「方程式 $f'(x) = 0$ の解と、ある値 $t$ の大小関係」を調べたい場合は、$x=t$ における関数値 $f'(t)$ の符号を調べる手法が極めて有効である。グラフの形状（下に凸）と軸の位置を組み合わせることで、解を直接求めずとも大小関係を完全に把握できる。