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東京大学 1994年文系第4問解説

方針・初手

積分区間の上端と下端が定数であるため、$\int_0^c f_{n-1}(t) dt$ は $x$ によらない定数となる。
この定積分を数列として置き、与えられた漸化式から定数部分の漸化式を立てて一般項を求める。
(2) では、(1) で求めた関数について $f_n(x) = 0$ を $4x^3 - 3x^2 = (\text{定数})$ の形に定数分離し、グラフの交点の個数として証明を行う。

解法1

(1)

$f_0(x) = f(x)$ と定めると、与えられた関数列の定義は次のように書ける。

$$ f_n(x) = f(x) + \int_0^c f_{n-1}(t) dt \quad (n = 1, 2, 3, \dots) $$

ここで、$a_{n-1} = \int_0^c f_{n-1}(t) dt$ とおくと、$f_n(x)$ は次のように表される。

$$ f_n(x) = f(x) + a_{n-1} $$

$f(x) = -4x^3 + 3x^2$ であるから、まず $a_0$ を求める。

$$ \begin{aligned} a_0 &= \int_0^c f(t) dt \\ &= \int_0^c (-4t^3 + 3t^2) dt \\ &= \left[ -t^4 + t^3 \right]_0^c \\ &= -c^4 + c^3 \end{aligned} $$

次に、$a_n$ と $a_{n-1}$ の関係式を導く。

$$ \begin{aligned} a_n &= \int_0^c f_n(t) dt \\ &= \int_0^c \{ f(t) + a_{n-1} \} dt \\ &= \int_0^c f(t) dt + \int_0^c a_{n-1} dt \\ &= a_0 + a_{n-1} \left[ t \right]_0^c \\ &= c a_{n-1} - c^4 + c^3 \end{aligned} $$

この漸化式 $a_n = c a_{n-1} - c^4 + c^3$ を変形する。特性方程式 $\alpha = c \alpha - c^4 + c^3$ を解くと、

$$ \alpha(1 - c) = c^3(1 - c) $$

$0 < c < 1$ より $1 - c \neq 0$ であるから、$\alpha = c^3$ となる。したがって、漸化式は次のように変形できる。

$$ a_n - c^3 = c (a_{n-1} - c^3) $$

数列 $\{ a_n - c^3 \}$ は初項 $a_0 - c^3 = -c^4 + c^3 - c^3 = -c^4$、公比 $c$ の等比数列であるから、

$$ a_n - c^3 = -c^4 \cdot c^n = -c^{n+4} $$

ゆえに、

$$ a_n = c^3 - c^{n+4} $$

求める関数 $f_n(x)$ は $f_n(x) = f(x) + a_{n-1}$ であるから、求めた $a_{n-1}$ を代入する。

$$ \begin{aligned} f_n(x) &= f(x) + c^3 - c^{(n-1)+4} \\ &= -4x^3 + 3x^2 + c^3 - c^{n+3} \end{aligned} $$

(2)

$0 < x < 1$ において $f_n(x) = 0$ を満たす $x$ がただひとつ存在することを示す。

方程式 $f_n(x) = 0$ は次のように定数分離できる。

$$ 4x^3 - 3x^2 = c^3 - c^{n+3} $$

$g(x) = 4x^3 - 3x^2$ とおき、$y = g(x)$ のグラフと直線 $y = c^3 - c^{n+3}$ の $0 < x < 1$ における交点の個数を調べる。

関数 $g(x)$ を微分すると、

$$ g'(x) = 12x^2 - 6x = 6x(2x - 1) $$

$g'(x) = 0$ となるのは $x = 0, \frac{1}{2}$ のときであるから、$0 \le x \le 1$ における $g(x)$ の増減表は次のようになる。

$x$	$0$	$\cdots$	$\frac{1}{2}$	$\cdots$	$1$
$g'(x)$	$0$	$-$	$0$	$+$
$g(x)$	$0$	$\searrow$	$-\frac{1}{4}$	$\nearrow$	$1$

増減表より、$0 < x < 1$ における $y = g(x)$ の値域は $-\frac{1}{4} \le g(x) < 1$ であり、とくに $\frac{1}{2} \le x < 1$ の区間において $g(x)$ は $-\frac{1}{4}$ から $1$ まで単調に増加する。また、$0 < x < \frac{1}{2}$ の区間においては $g(x) < 0$ である。

一方、右辺の定数 $c^3 - c^{n+3}$ について評価する。

$$ c^3 - c^{n+3} = c^3 (1 - c^n) $$

$0 < c < 1$ かつ $n \ge 1$ であるから、$0 < c^n < 1$ すなわち $0 < 1 - c^n < 1$ が成り立つ。これに $c^3 > 0$ を掛けると、

$$ 0 < c^3(1 - c^n) < c^3 $$

さらに $c < 1$ より $c^3 < 1$ であるから、

$$ 0 < c^3 - c^{n+3} < 1 $$

となる。

したがって、直線 $y = c^3 - c^{n+3}$ は $0 < y < 1$ の範囲にあり、$0 < x < 1$ において $y = g(x)$ のグラフと $y > 0$ の部分（すなわち $\frac{1}{2} < x < 1$ の単調増加する区間）でただひとつ交わる。

以上より、$0 < x < 1$ のとき $f_n(x) = 0$ を満たす $x$ がただひとつ存在することが示された。

解説

積分区間が定数である定積分は「定数」と置いて処理するのが基本方針となる。定積分の結果を数列と見立て、定数項が等比数列に帰着する漸化式を解くことで一般項が求まる。
$f_n(x) = 0$ のような方程式の実数解の個数は、定数分離を行って「曲線のグラフ」と「直線のグラフ」の交点として視覚化すると見通しが良くなる。
その際、分離した定数部分 $c^3 - c^{n+3}$ がどのような値の範囲をとるかを、$c$ と $n$ の条件から正確に評価することが証明の鍵となる。