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東北大学 1983年文系第3問解説

方針・初手

与えられているのは

$$ \int_{x-1}^{x} f(t),dt=x^4 $$

である。積分区間の端が $x$ を含んで動いているので、まず両辺を $x$ で微分して

$$ f(x)-f(x-1)=4x^3 $$

を得るのが自然である。

$f$ は $4$ 次式であるから、$f(x)-f(x-1)$ は $3$ 次式になる。そこで $f$ を一般の $4$ 次式とおいて係数を比較し、最後に元の積分条件で定数項を決める。

解法1

(1)

$f(t)$ を

$$ f(t)=at^4+bt^3+ct^2+dt+e $$

とおく。

与えられた式を $x$ で微分すると

$$ f(x)-f(x-1)=4x^3 $$

となる。

ここで

$$ \begin{aligned} x^4-(x-1)^4&=4x^3-6x^2+4x-1,\\ x^3-(x-1)^3&=3x^2-3x+1,\\ x^2-(x-1)^2&=2x-1,\\ x-(x-1)&=1 \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} f(x)-f(x-1) &=a{x^4-(x-1)^4}+b{x^3-(x-1)^3}+c{x^2-(x-1)^2}+d{x-(x-1)}\\ &=a(4x^3-6x^2+4x-1)+b(3x^2-3x+1)+c(2x-1)+d. \end{aligned} $$

これが $4x^3$ に等しいので、係数比較より

$$ \begin{cases} 4a=4,\\ -6a+3b=0,\\ 4a-3b+2c=0,\\ -a+b-c+d=0 \end{cases} $$

を得る。

順に解くと

$$ a=1,\quad b=2,\quad c=1,\quad d=0 $$

である。したがって

$$ f(t)=t^4+2t^3+t^2+e $$

となる。

残る定数項 $e$ を求めるため、元の条件に代入する。

$$ \int_{x-1}^{x}(t^4+2t^3+t^2+e),dt=x^4 $$

であるが、左辺を計算すると

$$ \int_{x-1}^{x}(t^4+2t^3+t^2),dt=x^4+\frac{1}{30} $$

となるので、

$$ x^4+\frac{1}{30}+e=x^4 $$

より

$$ e=-\frac{1}{30} $$

である。

よって

$$ f(t)=t^4+2t^3+t^2-\frac{1}{30} $$

である。

（2）整数 $k$ に対して、与えられた条件より

$$ \int_{k-1}^{k} f(t),dt=k^4 $$

である。したがって $k=1,2,\dots,n$ について和をとると

$$ \sum_{k=1}^{n}k^4 =\sum_{k=1}^{n}\int_{k-1}^{k}f(t),dt =\int_{0}^{n}f(t),dt $$

となる。

ここに (1) で求めた $f(t)$ を代入すると

$$ \sum_{k=1}^{n}k^4 =\int_{0}^{n}\left(t^4+2t^3+t^2-\frac{1}{30}\right),dt $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}k^4 &=\left[\frac{t^5}{5}+\frac{t^4}{2}+\frac{t^3}{3}-\frac{t}{30}\right]_{0}^{n}\\ &=\frac{n^5}{5}+\frac{n^4}{2}+\frac{n^3}{3}-\frac{n}{30}. \end{aligned} $$

これを通分すると

$$ \sum_{k=1}^{n}k^4 =\frac{6n^5+15n^4+10n^3-n}{30} $$

さらに因数分解して

$$ \sum_{k=1}^{n}k^4 =\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} $$

を得る。