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東北大学 2016年文系第1問解説

方針・初手

点 $P$ は

$$ \overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB} $$

より

$$ P(x,y)=(3s+t,\ s+2t) $$

と表される。したがって，まず $(s,t)$ 平面で与えられた条件の表す領域を調べ，それを $(x,y)$ 平面へ写せばよい。

また，$\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OC}$ は $x,y$ あるいは $s,t$ で表すと一次式になるので，最大値は領域の頂点で調べればよい。

解法1

まず

$$ \overrightarrow{OA}=(3,1),\qquad \overrightarrow{OB}=(1,2) $$

であるから，

$$ \overrightarrow{OP}=s(3,1)+t(1,2)=(3s+t,\ s+2t) $$

となる。よって

$$ x=3s+t,\qquad y=s+2t $$

である。

（1）領域 $D$ の図示

$(s,t)$ は

$$ -1\leqq s\leqq 1,\qquad -1\leqq t\leqq 1,\qquad -1\leqq s+t\leqq 1 $$

を満たす。これは $(s,t)$ 平面では正方形 $-1\leqq s\leqq 1,\ -1\leqq t\leqq 1$ を，直線 $s+t=-1,\ s+t=1$ で切った六角形である。

その頂点は

$$ (-1,0),\ (-1,1),\ (0,1),\ (1,0),\ (1,-1),\ (0,-1) $$

である。

ここで $(s,t)\mapsto (x,y)=(3s+t,\ s+2t)$ は線形変換であり，その行列

$$ \begin{pmatrix} 3 & 1\ 1 & 2 \end{pmatrix} $$

の行列式は

$$ 3\cdot 2-1\cdot 1=5\neq 0 $$

だから，この写像は1対1であり，六角形は六角形に写る。

各頂点の像を求めると，

$$ (-1,0)\mapsto (-3,-1), $$

$$ (-1,1)\mapsto (-2,1), $$

$$ (0,1)\mapsto (1,2), $$

$$ (1,0)\mapsto (3,1), $$

$$ (1,-1)\mapsto (2,-1), $$

$$ (0,-1)\mapsto (-1,-2) $$

である。

したがって，領域 $D$ は

$$ (-3,-1)\to (-2,1)\to (1,2)\to (3,1)\to (2,-1)\to (-1,-2) $$

をこの順に結んだ六角形である。

（2） $\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OC}$ の最大値

$\overrightarrow{OC}=(-1,1)$ であるから，

$$ \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OC} =(x,y)\cdot(-1,1) =-x+y $$

である。

これを $s,t$ で表すと，

$$ -x+y=-(3s+t)+(s+2t)=-2s+t $$

となる。

これは $s,t$ の一次式であるから，最大値は $(s,t)$ 平面の六角形の頂点でとる。各頂点での値を調べると，

$$ \begin{array}{c|c} (s,t) & -2s+t\ \hline (-1,0) & 2\\ (-1,1) & 3\\ (0,1) & 1\\ (1,0) & -2\\ (1,-1) & -3\\ (0,-1) & -1 \end{array} $$

となるので，最大値は $3$ であり，それは

$$ (s,t)=(-1,1) $$

のときである。

このときの $P$ は

$$ P=(3(-1)+1,\ -1+2\cdot 1)=(-2,1) $$

である。

解説

この問題の要点は，$P$ を直接 $(x,y)$ で追うのではなく，まず係数 $(s,t)$ の動く範囲を考えることである。$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ が一次独立なので，$(s,t)$ 平面の図形をそのまま線形変換で $(x,y)$ 平面へ移せる。

また，内積 $\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OC}$ は一次式であるから，最大・最小は多角形領域の頂点で調べれば十分である。二次関数のように内部で極値を探す必要はない点が重要である。