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東京大学 1997年文系第4問解説

方針・初手

与えられた2点 $A$, $B$ の座標から、まず直線 $AB$ の方程式を $t$ の式として求める。直線が「通りうる範囲」を求める問題（通過領域）では、主に以下の2つのアプローチが有効である。

順像法： $x$ を固定し、直線の方程式を $t$ の関数 $y = f(t)$ と見て、 $t$ が与えられた範囲を動くときの $y$ のとりうる範囲（最大値と最小値）を調べる。
逆像法（配置問題）：直線の方程式を $t$ の方程式と見なし、その方程式が指定された $t$ の範囲に少なくとも1つの実数解をもつための $(x, y)$ の条件を求める。

ここでは、微分の計算が直接的で視覚的にわかりやすい順像法を解法1とし、逆像法を解法2として紹介する。

解法1

2点 $A\left(\frac{2(t^2+t+1)}{3(t+1)}, -2\right)$, $B\left(\frac{2}{3}t, -2t\right)$ を通る直線の傾きを求める。 $x$ 座標の差は

$$ \frac{2(t^2+t+1)}{3(t+1)} - \frac{2}{3}t = \frac{2(t^2+t+1) - 2t(t+1)}{3(t+1)} = \frac{2}{3(t+1)} $$

$y$ 座標の差は

$$ -2 - (-2t) = 2(t-1) $$

したがって、直線 $AB$ の傾きは

$$ \frac{2(t-1)}{\frac{2}{3(t+1)}} = 3(t-1)(t+1) = 3(t^2-1) $$

となる。点 $B$ を通ることから、直線 $AB$ の方程式は

$$ y - (-2t) = 3(t^2-1)\left(x - \frac{2}{3}t\right) $$

整理すると

$$ y = 3(t^2-1)x - 2t^3 $$

となる。ここで $x$ を固定し、 $y$ を $t$ の関数とみて $f(t) = -2t^3 + 3xt^2 - 3x$ とおく。 $0 \leqq t \leqq 1$ における $f(t)$ のとりうる値の範囲が、求める領域の $y$ の範囲となる。 $f(t)$ を $t$ で微分すると

$$ f'(t) = -6t^2 + 6xt = -6t(t-x) $$

$f'(t) = 0$ となるのは $t=0, x$ である。 $x$ の値によって区間 $0 \leqq t \leqq 1$ における増減が変わるため、場合分けを行う。

(i) $x < 0$ のとき

$0 < t < 1$ において $t-x > 0$ であるから、 $f'(t) < 0$ となり、 $f(t)$ は単調減少する。最大値は $f(0) = -3x$、最小値は $f(1) = -2$ であるから、 $y$ のとりうる範囲は

$$ -2 \leqq y \leqq -3x $$

(ii) $0 \leqq x \leqq 1$ のとき

$0 < t < x$ において $f'(t) > 0$、 $x < t < 1$ において $f'(t) < 0$ となる。したがって、 $f(t)$ は $t=x$ で極大かつ最大となる。最大値は $f(x) = -2x^3 + 3x^3 - 3x = x^3 - 3x$ である。最小値は $f(0) = -3x$ と $f(1) = -2$ のうちの小さい方となる。両者の差をとると $f(0) - f(1) = -3x + 2$ であるから、さらに $x$ の値で場合を分ける。

$0 \leqq x \leqq \frac{2}{3}$ のとき、 $f(0) \geqq f(1)$ となり最小値は $f(1) = -2$ である。よって $y$ のとりうる範囲は

$$ -2 \leqq y \leqq x^3 - 3x $$

$\frac{2}{3} \leqq x \leqq 1$ のとき、 $f(0) \leqq f(1)$ となり最小値は $f(0) = -3x$ である。よって $y$ のとりうる範囲は

$$ -3x \leqq y \leqq x^3 - 3x $$

(iii) $x > 1$ のとき

$0 < t < 1$ において $t-x < 0$ であるから、 $f'(t) > 0$ となり、 $f(t)$ は単調増加する。最大値は $f(1) = -2$、最小値は $f(0) = -3x$ であるから、 $y$ のとりうる範囲は

$$ -3x \leqq y \leqq -2 $$

以上をまとめると、求める領域は得られる。

解法2

解法1と同様にして、直線 $AB$ の方程式を導出する。

$$ y = 3(t^2-1)x - 2t^3 $$

これを $t$ についての3次方程式とみなし、整理する。

$$ 2t^3 - 3xt^2 + 3x + y = 0 $$

直線 $AB$ が点 $(x, y)$ を通るための条件は、この $t$ についての方程式が $0 \leqq t \leqq 1$ の範囲に少なくとも1つの実数解をもつことである。 $g(t) = 2t^3 - 3xt^2 + 3x + y$ とおくと

$$ g'(t) = 6t^2 - 6xt = 6t(t-x) $$

となる。 $x$ の値によって区間 $0 \leqq t \leqq 1$ における増減を調べ、解の存在条件を求める。

(i) $x < 0$ のとき

$g(t)$ は $0 \leqq t \leqq 1$ において単調増加する。実数解をもつ条件は $g(0)g(1) \leqq 0$ であるから

$$ (3x+y)(y+2) \leqq 0 $$

$x < 0$ より $-3x > -2$ であることに注意して解くと

$$ -2 \leqq y \leqq -3x $$

(ii) $0 \leqq x \leqq 1$ のとき

$g(t)$ は $t=x$ で極小値 $g(x) = -x^3 + 3x + y$ をとる。また、区間の両端での値は $g(0) = 3x+y$, $g(1) = y+2$ である。 $0 \leqq t \leqq 1$ に実数解をもつ条件は、極小値が $0$ 以下であり、かつ区間の両端の値のうち大きい方が $0$ 以上であること、すなわち $g(x) \leqq 0$ かつ $\max(g(0), g(1)) \geqq 0$ である。

$g(0) \geqq g(1) \iff x \geqq \frac{2}{3}$ であるから、場合を分ける。 $0 \leqq x \leqq \frac{2}{3}$ のとき、最大値は $g(1) = y+2$ となるので、解をもつ条件は

$$ -x^3 + 3x + y \leqq 0 \quad \text{かつ} \quad y+2 \geqq 0 \iff -2 \leqq y \leqq x^3 - 3x $$

$\frac{2}{3} \leqq x \leqq 1$ のとき、最大値は $g(0) = 3x+y$ となるので、解をもつ条件は

$$ -x^3 + 3x + y \leqq 0 \quad \text{かつ} \quad 3x+y \geqq 0 \iff -3x \leqq y \leqq x^3 - 3x $$

(iii) $x > 1$ のとき

$g(t)$ は $0 \leqq t \leqq 1$ において単調減少する。実数解をもつ条件は $g(0)g(1) \leqq 0$ であるから

$$ (3x+y)(y+2) \leqq 0 $$

$x > 1$ より $-3x < -2$ であることに注意して解くと

$$ -3x \leqq y \leqq -2 $$

これらは解法1の結果と一致する。

解説

図形と方程式における「直線の通過領域」の典型問題である。順像法（ファクシミリの原理）を用いた場合は、固定した $x$ に対して $y$ がどのような範囲をとるかを調べるため、多変数関数の処理の基本が問われる。一方、逆像法（配置問題）を用いた場合は、3次方程式の解の配置問題に帰着される。極小値と端点の値の符号を正確に評価することが求められる。いずれの解法でも、場合分けの境界となる $x=0$, $\frac{2}{3}$, $1$ を漏らさず丁寧に計算することが鍵となる。

答え

求める領域は、以下の不等式を満たす $(x, y)$ の集合である。

$$ \begin{cases} -2 \leqq y \leqq -3x & (x < 0) \\ -2 \leqq y \leqq x^3 - 3x & \left(0 \leqq x \leqq \frac{2}{3}\right) \\ -3x \leqq y \leqq x^3 - 3x & \left(\frac{2}{3} \leqq x \leqq 1\right) \\ -3x \leqq y \leqq -2 & (x > 1) \end{cases} $$

これを図示すると、上端の境界は $x \leqq 0$ における半直線 $y = -3x$、 $0 \leqq x \leqq 1$ における曲線 $y = x^3 - 3x$、 $x \geqq 1$ における半直線 $y = -2$ からなり、下端の境界は $x \leqq \frac{2}{3}$ における半直線 $y = -2$、 $x \geqq \frac{2}{3}$ における半直線 $y = -3x$ からなる。直線 $AB$ の通りうる範囲は、これらの境界線に挟まれた領域（境界線を含む）である。