東京大学 1999年 文系 第1問 解説

方針・初手

（1）では教科書に記載されている三角関数の定義を正確に述べる。

（2）では（1）で定めた座標による定義を用いて証明する。回転行列やオイラーの公式など、加法定理を前提とする（あるいは同値な）定理を無造作に使うと循環論法になる恐れがあるため、座標平面上の「2点間の距離」や「ベクトルの内積」といった、幾何的定義から直接計算できるものを利用して $\cos$ の加法定理を導くのがよい。その後、図形的な対称性から得られる変換公式を用いて $\sin$ の加法定理を導出する。

解法1

(1)

座標平面上に原点 $\text{O}$ を中心とする半径 $r \ (r > 0)$ の円を描き、$x$軸の正の部分を始線とする。

一般角 $\theta$ を表す動径とこの円との交点を $\text{P}(x, y)$ とするとき、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ を次のように定義する。

$$ \sin\theta = \frac{y}{r}, \quad \cos\theta = \frac{x}{r} $$

(2)

（1）の定義において $r=1$ とした単位円を考える。任意の角 $\theta$ に対し、角 $\theta$ の動径と単位円の交点の座標は $(\cos\theta, \sin\theta)$ と表せる。

単位円上に2点 $\text{P}_1(\cos\alpha, \sin\alpha)$, $\text{P}_2(\cos(-\beta), \sin(-\beta))$ をとる。また、点 $\text{P}_0(1, 0)$ と、点 $\text{P}_3(\cos(\alpha+\beta), \sin(\alpha+\beta))$ をとる。

$\triangle\text{OP}_1\text{P}_2$ と $\triangle\text{OP}_3\text{P}_0$ は、一方が他方を原点中心に回転させた図形であり合同であるため、線分の長さについて $\text{P}_1\text{P}_2 = \text{P}_3\text{P}_0$ が成り立つ。

両辺を2乗し、2点間の距離の公式を用いて座標で表す。

$$ \text{P}_1\text{P}_2^2 = (\cos\alpha - \cos(-\beta))^2 + (\sin\alpha - \sin(-\beta))^2 $$

ここで、定義より明らかに $\cos(-\beta) = \cos\beta, \sin(-\beta) = -\sin\beta$ であるから、

$$ \text{P}_1\text{P}_2^2 = (\cos\alpha - \cos\beta)^2 + (\sin\alpha + \sin\beta)^2 $$

$$ = (\cos^2\alpha - 2\cos\alpha\cos\beta + \cos^2\beta) + (\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\sin\beta + \sin^2\beta) $$

$$ = (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) + (\cos^2\beta + \sin^2\beta) - 2(\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) $$

$$ = 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) $$

一方、$\text{P}_3\text{P}_0^2$ は次のようになる。

$$ \text{P}_3\text{P}_0^2 = (\cos(\alpha+\beta) - 1)^2 + (\sin(\alpha+\beta) - 0)^2 $$

$$ = \cos^2(\alpha+\beta) - 2\cos(\alpha+\beta) + 1 + \sin^2(\alpha+\beta) $$

$$ = (\cos^2(\alpha+\beta) + \sin^2(\alpha+\beta)) + 1 - 2\cos(\alpha+\beta) $$

$$ = 2 - 2\cos(\alpha+\beta) $$

$\text{P}_1\text{P}_2^2 = \text{P}_3\text{P}_0^2$ より、

$$ 2 - 2\cos(\alpha+\beta) = 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) $$

$$ \cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta \quad \cdots \text{①} $$

これにより $\cos$ の加法定理が示された。

次に、$\sin$ の加法定理を導く。角 $\theta$ の動径と単位円の交点を $\text{Q}(\cos\theta, \sin\theta)$ とし、$\text{Q}$ を原点中心に $\frac{\pi}{2}$ 回転させた点を $\text{Q}'$ とすると、$\text{Q}'$ の座標は $(-\sin\theta, \cos\theta)$ となる。

一方、$\text{Q}'$ は角 $\theta + \frac{\pi}{2}$ の動径と単位円の交点でもあるから、$\text{Q}'$ の座標は $\left(\cos\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right), \sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)\right)$ と表せる。

これらを比較することで、任意の角 $\theta$ について次が成り立つ。

$$ \cos\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\theta, \quad \sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right) = \cos\theta $$

これと①を用いると、$\sin(\alpha+\beta)$ は次のように変形できる。

$$ \sin(\alpha+\beta) = -\cos\left((\alpha+\beta)+\frac{\pi}{2}\right) $$

$$ = -\cos\left(\alpha+\left(\beta+\frac{\pi}{2}\right)\right) $$

$$ = -\left\{ \cos\alpha\cos\left(\beta+\frac{\pi}{2}\right) - \sin\alpha\sin\left(\beta+\frac{\pi}{2}\right) \right\} $$

$$ = -\left\{ \cos\alpha(-\sin\beta) - \sin\alpha\cos\beta \right\} $$

$$ = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $$

となり、$\sin$ の加法定理も示された。（証明終）

解法2

（2）の別解

ベクトルの内積を用いて $\cos$ の加法定理を証明する。

単位円上に2点 $\text{A}(\cos\alpha, \sin\alpha)$, $\text{B}(\cos(-\beta), \sin(-\beta))$ をとる。それぞれの位置ベクトルを $\vec{a}, \vec{b}$ とすると、

$$ \vec{a} = (\cos\alpha, \sin\alpha), \quad \vec{b} = (\cos\beta, -\sin\beta) $$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積を成分から計算すると、

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha(-\sin\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $$

一方、$\vec{a}$ の表す一般角は $\alpha$、$\vec{b}$ の表す一般角は $-\beta$ である。

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\gamma \ (0 \le \gamma \le \pi)$ とすると、一般角の差 $\alpha - (-\beta) = \alpha+\beta$ と $\gamma$ の関係は、ある整数 $n$ を用いて

$$ \alpha+\beta = 2n\pi \pm \gamma $$

と表せる。$\cos$ は周期 $2\pi$ の偶関数であるため、いずれの場合でも $\cos(\alpha+\beta) = \cos(\pm\gamma) = \cos\gamma$ が成り立つ。

したがって、内積の図形的な定義より、

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\gamma = 1 \cdot 1 \cdot \cos(\alpha+\beta) = \cos(\alpha+\beta) $$

2通りの内積の計算結果を比較して、

$$ \cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $$

が示された。これ以降の $\sin$ の加法定理の導出は解法1と同様である。（証明終）

解説

1999年に東京大学で出題され話題を呼んだ、定理の証明問題である。数学における「定義」と「定理」の区別を正確に理解できているかが問われている。

（1）で定義を記述させていることから、（2）の証明は「（1）の定義から直接導かれる性質」のみを用いて行うことが求められている。回転行列などの加法定理と同等の定理を用いてしまうと、循環論法とみなされ大幅な減点対象となる恐れがある。

したがって、座標平面における2点間の距離や、ベクトルの内積といった、図形的な定義から直接得られる事実を足がかりにするのが最も自然かつ安全な方針となる。

答え

(1)

座標平面上に原点 $\text{O}$ を中心とする半径 $r \ (r > 0)$ の円を描き、$x$軸の正の部分を始線とする。一般角 $\theta$ を表す動径とこの円との交点の座標を $(x, y)$ とするとき、

$\sin\theta = \frac{y}{r}, \quad \cos\theta = \frac{x}{r}$

と定義する。

(2)

略（解法1の証明を参照）