東北大学 1997年 文系 第2問 解説

注意

画像の式 $(1+\sin\theta+\cos\theta)^2=(1+\sin\theta)(1+\cos\theta)$ は、そのままでは恒等式として成り立たない。実際には

$$ (1+\sin\theta+\cos\theta)^2=2(1+\sin\theta)(1+\cos\theta) $$

と読むのが自然である。以下ではこの読みに基づいて解答する。

方針・初手

（1） は左辺を展開して、$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ を用いればよい。

（2） は （1） の恒等式を用いて

$$ (1+\sin\theta)(1+\cos\theta)=\frac{(1+\sin\theta+\cos\theta)^2}{2} $$

と変形し、さらに $\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\sin(\theta+45^\circ)$ として値の範囲を調べる。

解法1

(1)

左辺を展開すると

$$ \begin{aligned} (1+\sin\theta+\cos\theta)^2 &=1+\sin^2\theta+\cos^2\theta+2\sin\theta+2\cos\theta+2\sin\theta\cos\theta \\ &=1+1+2\sin\theta+2\cos\theta+2\sin\theta\cos\theta \\ &=2(1+\sin\theta+\cos\theta+\sin\theta\cos\theta) \\ &=2(1+\sin\theta)(1+\cos\theta). \end{aligned} $$

よって

$$ (1+\sin\theta+\cos\theta)^2=2(1+\sin\theta)(1+\cos\theta) $$

が成り立つ。

(2)

$f(\theta)=(1+\sin\theta)(1+\cos\theta)$ とおく。

（1） より

$$ f(\theta)=\frac{(1+\sin\theta+\cos\theta)^2}{2} $$

である。

ここで

$$ \sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\sin(\theta+45^\circ) $$

より

$$ f(\theta)=\frac{(1+\sqrt{2}\sin(\theta+45^\circ))^2}{2} $$

となる。

$\sin(\theta+45^\circ)$ の値域は $-1\leqq \sin(\theta+45^\circ)\leqq 1$ であるから、

$$ 1-\sqrt{2}\leqq 1+\sqrt{2}\sin(\theta+45^\circ)\leqq 1+\sqrt{2} $$

である。

したがって、その平方の最小値・最大値を考えればよい。

まず最大値は

$$ 1+\sqrt{2}\sin(\theta+45^\circ)=1+\sqrt{2} $$

すなわち

$$ \sin(\theta+45^\circ)=1 $$

のときに生じる。これは

$$ \theta+45^\circ=90^\circ $$

より

$$ \theta=45^\circ $$

である。このとき

$$ f(45^\circ)=\frac{(1+\sqrt{2})^2}{2} =\frac{3+2\sqrt{2}}{2}. $$

次に最小値は、平方の形であるから $0$ になりうるかを調べればよい。

$$ 1+\sqrt{2}\sin(\theta+45^\circ)=0 $$

すなわち

$$ \sin(\theta+45^\circ)=-\frac{1}{\sqrt{2}} $$

となる $\theta$ が存在する。実際、

$$ \theta+45^\circ=225^\circ,\ 315^\circ $$

より

$$ \theta=180^\circ,\ 270^\circ $$

が得られる。

このとき

$$ f(180^\circ)=(1+\sin180^\circ)(1+\cos180^\circ)=1\cdot 0=0 $$

であり、最小値は $0$ である。

解説

この問題の要点は、積 $(1+\sin\theta)(1+\cos\theta)$ をそのまま扱うのでなく、平方の形に直すことである。

$$ (1+\sin\theta)(1+\cos\theta)=\frac{(1+\sin\theta+\cos\theta)^2}{2} $$

とできれば、あとは $\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\sin(\theta+45^\circ)$ を使って、三角関数の値域の問題に帰着する。

最大値は $\sin(\theta+45^\circ)=1$ のとき、最小値は平方が $0$ になるときに生じる、という流れで処理できる。

答え

$$ (1+\sin\theta+\cos\theta)^2=2(1+\sin\theta)(1+\cos\theta) $$

最大値は

$$ \frac{3+2\sqrt{2}}{2} $$

で、$\theta=45^\circ$ のときにとる。

最小値は

$$ 0 $$

で、$\theta=180^\circ,\ 270^\circ$ のときにとる。