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東京大学 2005年文系第3問解説

方針・初手

与えられた方程式は $x$ についての複二次式であるが、そのまま $x$ を解こうとすると係数が $s, t$ の式であるため複雑になる。この問題に対するアプローチとしては、主に次の2つが考えられる。

逆像法（実数解条件） $x$ を定数とみなし、与えられた方程式と条件 $s \ge 0, t \ge 0, s^2+t^2=1$ を満たす実数 $s, t$ が存在するための $x$ の条件を求める。対称式 $s+t, st$ を用いて変数変換することで見通しが良くなる。
順像法（値域の探求） 方程式を $x^2$ について解き、$s, t$ が条件を満たして動くときの $x^2$ のとりうる値の範囲を直接求める。

ここでは、両方の解法を示す。

解法1

$x$ を固定し、条件を満たす実数 $s, t$ が存在するための $x$ の条件を求める。

基本対称式を用いて、$u = s+t, v = st$ とおく。 $s, t$ は $X$ についての2次方程式 $X^2 - uX + v = 0$ の2つの実数解である。 $s \ge 0, t \ge 0$ であるための条件は、判別式を $D$ とすると

$$ \begin{cases} D = u^2 - 4v \ge 0 \\ u \ge 0 \\ v \ge 0 \end{cases} $$

である。さらに、条件 $s^2+t^2=1$ より

$$ (s+t)^2 - 2st = 1 $$

$$ u^2 - 2v = 1 $$

すなわち $v = \frac{u^2-1}{2}$ となる。これを $u^2 - 4v \ge 0$ に代入すると

$$ u^2 - 2(u^2-1) \ge 0 $$

$$ u^2 \le 2 $$

$u \ge 0$ とあわせて $0 \le u \le \sqrt{2}$ を得る。また、$v \ge 0$ より $\frac{u^2-1}{2} \ge 0$ なので $u^2 \ge 1$ となり、$u \ge 0$ から $u \ge 1$ となる。したがって、実数 $s, t$ が存在する条件は、$u$ が

$$ 1 \le u \le \sqrt{2} $$

を満たすことと同値になる。

次に、与えられた $x$ の方程式を $u, v$ で表す。 $(s-t)^2 = s^2+t^2-2st = 1-2v$ であるから、方程式は

$$ x^4 - 2ux^2 + 1 - 2v = 0 $$

となる。これに $v = \frac{u^2-1}{2}$ を代入すると

$$ x^4 - 2ux^2 + 1 - (u^2-1) = 0 $$

$$ x^4 - 2ux^2 - u^2 + 2 = 0 $$

これを $u$ についての2次方程式として整理すると

$$ u^2 + 2x^2 u - (x^4 + 2) = 0 $$

解の公式より

$$ u = -x^2 \pm \sqrt{x^4 + (x^4 + 2)} = -x^2 \pm \sqrt{2x^4 + 2} $$

ここで、$u \ge 1 > 0$ であり、$-x^2 - \sqrt{2x^4+2} < 0$ であるため、複号は正のみが適する。よって

$$ u = -x^2 + \sqrt{2x^4 + 2} $$

これが $1 \le u \le \sqrt{2}$ を満たせばよい。

$$ 1 \le -x^2 + \sqrt{2x^4 + 2} \le \sqrt{2} $$

各辺に $x^2$ を加えて

$$ x^2 + 1 \le \sqrt{2x^4 + 2} \le x^2 + \sqrt{2} $$

各辺は正であるから、2乗しても同値関係は保たれる。

左側の不等式について

$$ (x^2 + 1)^2 \le 2x^4 + 2 $$

$$ x^4 + 2x^2 + 1 \le 2x^4 + 2 $$

$$ x^4 - 2x^2 + 1 \ge 0 $$

$$ (x^2 - 1)^2 \ge 0 $$

これはすべての実数 $x$ について成り立つ。

右側の不等式について

$$ 2x^4 + 2 \le (x^2 + \sqrt{2})^2 $$

$$ 2x^4 + 2 \le x^4 + 2\sqrt{2}x^2 + 2 $$

$$ x^4 - 2\sqrt{2}x^2 \le 0 $$

$$ x^2(x^2 - 2\sqrt{2}) \le 0 $$

$x^2 \ge 0$ であるから、これを満たす条件は

$$ 0 \le x^2 \le 2\sqrt{2} $$

これを $x$ について解くと

$$ -\sqrt{2\sqrt{2}} \le x \le \sqrt{2\sqrt{2}} $$

となる。

解法2

与えられた方程式 $x^4 - 2(s+t)x^2 + (s-t)^2 = 0$ を $x^2$ についての2次方程式とみて解くと

$$ x^2 = (s+t) \pm \sqrt{(s+t)^2 - (s-t)^2} = s + t \pm \sqrt{4st} = s + t \pm 2\sqrt{st} $$

$s \ge 0, t \ge 0$ であるから $\sqrt{s}, \sqrt{t}$ は実数であり

$$ x^2 = (\sqrt{s} \pm \sqrt{t})^2 $$

右辺は $0$ 以上であるため、常に実数 $x$ が存在する。解法1と同様に $u = s+t$ とおくと、条件を満たす $s, t$ が動くとき $u$ は $1 \le u \le \sqrt{2}$ の範囲を動く。また、$2st = u^2 - 1$ であるから、$2\sqrt{st} = \sqrt{2(u^2-1)}$ となる。したがって、$x^2$ のとりうる値は、次の2つの関数 $f(u), g(u)$ の値域の和集合である。

$$ f(u) = u + \sqrt{2(u^2-1)} $$

$$ g(u) = u - \sqrt{2(u^2-1)} $$

区間 $1 \le u \le \sqrt{2}$ におけるこれらの値域を調べる。

$f(u)$ について、区間 $1 < u < \sqrt{2}$ で微分すると

$$ f'(u) = 1 + \frac{2u}{\sqrt{2(u^2-1)}} > 0 $$

よって $f(u)$ は単調増加である。 $f(1) = 1$、$f(\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ より、$f(u)$ の値域は $1 \le f(u) \le 2\sqrt{2}$ となる。

$g(u)$ について、同様に区間 $1 < u < \sqrt{2}$ で微分すると

$$ g'(u) = 1 - \frac{2u}{\sqrt{2(u^2-1)}} = \frac{\sqrt{2(u^2-1)} - 2u}{\sqrt{2(u^2-1)}} $$

ここで、$\sqrt{2u^2-2} < \sqrt{2u^2} < \sqrt{4u^2} = 2u$ であるから分子は負となり、$g'(u) < 0$ である。よって $g(u)$ は単調減少である。 $g(1) = 1$、$g(\sqrt{2}) = 0$ より、$g(u)$ の値域は $0 \le g(u) \le 1$ となる。

これら2つの値域の和集合をとると、$x^2$ のとりうる値の範囲は

$$ 0 \le x^2 \le 2\sqrt{2} $$

となる。$x$ は実数であるから、求める範囲は

$$ -\sqrt{2\sqrt{2}} \le x \le \sqrt{2\sqrt{2}} $$

となる。

解説

条件式の形から基本対称式 $s+t, st$ の利用を思いつくのが自然な第一歩である。解法1は「条件を満たすように変数が存在するためのパラメータの範囲」を求める、いわゆる逆像法（逆手流）の考え方を用いている。方程式を $x$ の式としてではなく $u$ の方程式として捉え直すことで、論理的に漏れなく処理できる。一方、解法2のように直接 $x^2$ を解いてから値域を調べる順像法でも、微分の計算がやや手間になるものの、一本道で答えに辿り着くことができる。いずれの方法も難関大で頻出の考え方なので、両方マスターしておきたい。なお、答えは $-\sqrt[4]{8} \le x \le \sqrt[4]{8}$ と表記してもよい。