東京大学 2009年 文系 第1問 解説

方針・初手

円と円の接する条件（内接・外接）を中心間の距離と半径の関係を用いて立式する。得られた連立方程式から $a, b$ を $t$ で表し、$b > 0$ の条件から $t$ のとり得る値の範囲を求める。その後、$b$ の最大値を二次関数の最大値問題に帰着させて解く。

解法1

(1)

円 $C_1$ は中心 $(0, 0)$，半径 $2$ の円である。 円 $C_2$ は中心 $(1, 0)$，半径 $1$ の円である。 円 $C_3$ は中心 $(a, b)$，半径 $t$ ($t>0$) の円である。

円 $C_3$ が円 $C_1$ に内接するとき，中心間の距離は半径の差の絶対値に等しい。$C_3$ は半径 $2$ の $C_1$ に内接し，かつ半径 $1$ の $C_2$ に外接する円であることから，$C_3$ の半径 $t$ は $C_1$ の半径 $2$ よりも小さいことがわかる。すなわち $0 < t < 2$ であるから，半径の差は $2 - t$ となる。 よって，中心 $(0,0)$ と $(a,b)$ の距離について次が成り立つ。

$$ \sqrt{a^2 + b^2} = 2 - t $$

両辺は正であるから，2乗して

$$ a^2 + b^2 = (2 - t)^2 \quad \cdots \text{①} $$

次に，円 $C_3$ が円 $C_2$ に外接するとき，中心間の距離は半径の和に等しい。中心 $(1,0)$ と $(a,b)$ の距離について次が成り立つ。

$$ \sqrt{(a - 1)^2 + b^2} = t + 1 $$

両辺は正であるから，2乗して

$$ (a - 1)^2 + b^2 = (t + 1)^2 \quad \cdots \text{②} $$

②の左辺を展開すると

$$ a^2 - 2a + 1 + b^2 = t^2 + 2t + 1 $$

これに①の $a^2 + b^2 = (2 - t)^2 = 4 - 4t + t^2$ を代入して整理する。

$$ (4 - 4t + t^2) - 2a + 1 = t^2 + 2t + 1 $$

$$ 5 - 4t - 2a = 2t + 1 $$

$$ 2a = 4 - 6t $$

$$ a = 2 - 3t \quad \cdots \text{③} $$

③を①に代入して $b^2$ について解く。

$$ b^2 = (2 - t)^2 - (2 - 3t)^2 $$

$$ b^2 = (4 - 4t + t^2) - (4 - 12t + 9t^2) $$

$$ b^2 = -8t^2 + 8t $$

$$ b^2 = 8t(1 - t) \quad \cdots \text{④} $$

ここで，問題の条件より $b$ は正の実数であるから，$b^2 > 0$ でなければならない。

$$ 8t(1 - t) > 0 $$

$$ t(1 - t) > 0 $$

これを解いて

$$ 0 < t < 1 $$

このとき，最初に確認した $0 < t < 2$ の条件も満たしている。 $b > 0$ であるから，④より

$$ b = \sqrt{8t(1 - t)} = 2\sqrt{2t(1 - t)} $$

(2)

(1)より，$b$ は次のように表される。

$$ b = \sqrt{-8t^2 + 8t} $$

根号の中身を平方完成する。

$$ -8t^2 + 8t = -8\left(t^2 - t\right) = -8\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + 2 $$

$t$ のとり得る値の範囲は $0 < t < 1$ であるから，根号の中身 $-8t^2 + 8t$ は $t = \frac{1}{2}$ のとき最大値 $2$ をとる。

$b$ は根号の中身が最大のときに最大となるため，$b$ の最大値は

$$ \sqrt{2} $$

解説

2つの円が接する条件を正確に式に翻訳できるかが問われている。 半径 $r_1, r_2$、中心間距離 $d$ の2円について、外接する条件は $d = r_1 + r_2$、内接する条件は $d = |r_1 - r_2|$ （ただし $r_1 \neq r_2$）である。 本問では $C_1$（半径 $2$）に $C_3$（半径 $t$）が内接することから、$t < 2$ であることは図形的にも直感でき、絶対値をそのまま外すことができる。 あとは得られた2つの式から $a, b$ を消去・表現し、条件 $b>0$ から実数存在条件（定義域）を絞り込むという基本的な代数処理に帰着される。

答え

(1)

$a = 2 - 3t$, $b = 2\sqrt{2t(1 - t)}$ $t$ がとり得る値の範囲: $0 < t < 1$

(2)

$b$ の最大値: $\sqrt{2}$