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名古屋大学 2008年文系第1問解説

方針・初手

求める円の中心の座標と半径を文字で置き、「2つの円に外接する」「直線に接する」という図形的な条件を数式で表現する。これらの方程式を連立させて解く。

解法1

与えられた2つの円をそれぞれ $C_1, C_2$ とする。 $C_1: x^2 + (y-2)^2 = 9$ より、中心 $O_1(0, 2)$, 半径 $r_1=3$ である。 $C_2: (x-4)^2 + (y+4)^2 = 1$ より、中心 $O_2(4, -4)$, 半径 $r_2=1$ である。

求める円を $C$ とし、その中心を $P(a, b)$、半径を $r \ (r > 0)$ とする。

$C$ は $C_1$ に外接するので、中心間の距離について次が成り立つ。

$$O_1 P = r + r_1$$

$$\sqrt{a^2 + (b-2)^2} = r + 3$$

両辺を2乗して整理すると、次の式を得る。

$$a^2 + (b-2)^2 = (r+3)^2 \quad \cdots ①$$

$C$ は $C_2$ に外接するので、同様に中心間の距離について次が成り立つ。

$$O_2 P = r + r_2$$

$$\sqrt{(a-4)^2 + (b+4)^2} = r + 1$$

両辺を2乗して整理すると、次の式を得る。

$$(a-4)^2 + (b+4)^2 = (r+1)^2 \quad \cdots ②$$

また、$C$ は直線 $x=6$ に接するので、中心 $P(a, b)$ と直線 $x=6$ の距離は半径 $r$ に等しい。

$$|a-6| = r \quad \cdots ③$$

③より、$a-6 = \pm r$ であるが、$r>0$ であるから、以下の2つの場合が考えられる。

(i) $a < 6$ のとき $r = 6-a$ (ii) $a > 6$ のとき $r = a-6$

(i) $a < 6$ かつ $r = 6-a$ のとき

$r = 6-a$ を①に代入して展開する。

$$a^2 + b^2 - 4b + 4 = (6 - a + 3)^2$$

$$a^2 + b^2 - 4b + 4 = (9-a)^2$$

$$a^2 + b^2 - 4b + 4 = 81 - 18a + a^2$$

$$18a = -b^2 + 4b + 77 \quad \cdots ④$$

$r = 6-a$ を②に代入して展開する。

$$(a-4)^2 + (b+4)^2 = (6 - a + 1)^2$$

$$a^2 - 8a + 16 + b^2 + 8b + 16 = (7-a)^2$$

$$a^2 - 8a + b^2 + 8b + 32 = 49 - 14a + a^2$$

$$6a = -b^2 - 8b + 17 \quad \cdots ⑤$$

④、⑤から $a$ を消去するため、④ $- 3 \times ⑤$ を計算する。

$$18a - 18a = (-b^2 + 4b + 77) - 3(-b^2 - 8b + 17)$$

$$0 = 2b^2 + 28b + 26$$

$$b^2 + 14b + 13 = 0$$

$$(b+1)(b+13) = 0$$

よって、$b = -1, -13$ である。

$b = -1$ のとき、⑤より

$$6a = -(-1)^2 - 8(-1) + 17 = -1 + 8 + 17 = 24$$

ゆえに $a = 4$ となる。このとき条件 $a < 6$ を満たし、$r = 6 - 4 = 2 > 0$ となり適する。よって、円 $C$ の方程式の1つは

$$(x-4)^2 + (y+1)^2 = 4$$

$b = -13$ のとき、⑤より

$$6a = -(-13)^2 - 8(-13) + 17 = -169 + 104 + 17 = -48$$

ゆえに $a = -8$ となる。このとき条件 $a < 6$ を満たし、$r = 6 - (-8) = 14 > 0$ となり適する。よって、もう1つの円 $C$ の方程式は

$$(x+8)^2 + (y+13)^2 = 196$$

(ii) $a > 6$ かつ $r = a-6$ のとき

$r = a-6$ を①に代入して展開する。

$$a^2 + b^2 - 4b + 4 = (a - 6 + 3)^2$$

$$a^2 + b^2 - 4b + 4 = (a-3)^2$$

$$a^2 + b^2 - 4b + 4 = a^2 - 6a + 9$$

$$6a = -b^2 + 4b + 5 \quad \cdots ⑥$$

$r = a-6$ を②に代入して展開する。

$$(a-4)^2 + (b+4)^2 = (a - 6 + 1)^2$$

$$a^2 - 8a + 16 + b^2 + 8b + 16 = (a-5)^2$$

$$a^2 - 8a + b^2 + 8b + 32 = a^2 - 10a + 25$$

$$2a = -b^2 - 8b - 7 \quad \cdots ⑦$$

⑥、⑦から $a$ を消去するため、⑥ $- 3 \times ⑦$ を計算する。

$$6a - 6a = (-b^2 + 4b + 5) - 3(-b^2 - 8b - 7)$$

$$0 = 2b^2 + 28b + 26$$

$$b^2 + 14b + 13 = 0$$

$$(b+1)(b+13) = 0$$

よって、$b = -1, -13$ である。

$b = -1$ のとき、⑦より

$$2a = -(-1)^2 - 8(-1) - 7 = -1 + 8 - 7 = 0$$

ゆえに $a = 0$ となるが、これは条件 $a > 6$ に矛盾する。

$b = -13$ のとき、⑦より

$$2a = -(-13)^2 - 8(-13) - 7 = -169 + 104 - 7 = -72$$

ゆえに $a = -36$ となるが、これも条件 $a > 6$ に矛盾する。

したがって、(ii) を満たす実数 $a, b, r$ の組は存在しない。

以上より、求める円の方程式は $(x-4)^2 + (y+1)^2 = 4$ と $(x+8)^2 + (y+13)^2 = 196$ である。

解説

「2つの円が外接する」という条件から、中心間の距離が半径の和になるという性質を利用して関係式を導く、図形と方程式の典型問題である。また、円が座標軸に平行な直線に接する条件は、中心の座標と直線の距離を用いて簡潔に表すことができる。絶対値を外す際に場合分けが生じるが、立式した連立方程式を丁寧に同値変形していけば確実に解にたどり着くことができる。なお、与えられた2つの円が $x \le 5$ の領域にあることを踏まえると、求める円の中心が $x > 6$ の領域にあって $x=6$ に接することは幾何学的にあり得ないと判断でき、(ii) の計算を省略することも可能である。