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東京大学 1968年理系第6問解説

方針・初手

(i) は微分法を用いて関数の増減を調べる定石問題である。(ii) は注記にある $2^{10}=1024 \approx 10^3$ を利用して、$2^{200}$ を $(1.024)^{20} \times 10^{60}$ と変形し、$(1.024)^{20}$ の大きさを評価する。(i)の不等式が上限の評価に役立つ。(iii) は(ii)で得られた不等式の各辺の常用対数をとることで示せる。

解法1

(i)

$f(x) = (1+x)^\alpha - \left(1 + \frac{\alpha}{2} x\right)$ とおく。

$x$ で微分すると

$$ f'(x) = \alpha (1+x)^{\alpha-1} - \frac{\alpha}{2} $$

$0 \leqq x \leqq 1$ において $1 \leqq 1+x \leqq 2$ である。

$0 < \alpha < 1$ より $\alpha - 1 < 0$ であるから、$(1+x)^{\alpha - 1}$ はこの区間で単調に減少する。

よって、$(1+x)^{\alpha - 1}$ は $x=1$ のとき最小値 $2^{\alpha-1}$ をとる。

ゆえに

$$ f'(x) \geqq \alpha \cdot 2^{\alpha-1} - \frac{\alpha}{2} = \frac{\alpha}{2} (2^\alpha - 1) $$

ここで、$0 < \alpha$ より $2^\alpha > 2^0 = 1$ であるから、$2^\alpha - 1 > 0$ となる。

したがって、区間 $0 \leqq x \leqq 1$ において $f'(x) > 0$ であり、$f(x)$ は単調増加する。

$f(0) = 1^\alpha - 1 = 0$ であるから、$0 \leqq x \leqq 1$ において

$$ f(x) \geqq 0 $$

すなわち

$$ 1 + \frac{\alpha}{2} x \leqq (1+x)^\alpha $$

が成り立つ。

(ii)

$2^{10} = 1024 = 1.024 \times 10^3$ より

$$ 2^{200} = (2^{10})^{20} = (1.024 \times 10^3)^{20} = 1.024^{20} \times 10^{60} $$

ここで、$1.024^{20}$ の値を評価する。

二項定理より

$$ 1.024^{20} = (1 + 0.024)^{20} = 1 + 20 \times 0.024 + {}_{20}\mathrm{C}_{2} (0.024)^2 + \cdots $$

第3項以降も正であるから

$$ 1.024^{20} > 1 + 20 \times 0.024 = 1.48 $$

一方、(i)で示した不等式に $x = 1, \alpha = \frac{1}{20}$ を代入する。

これらは $0 \leqq x \leqq 1, 0 < \alpha < 1$ を満たす有理数と実数であるから適用可能であり、

$$ 1 + \frac{1}{40} \leqq (1+1)^{\frac{1}{20}} $$

$$ 1.025 \leqq 2^{\frac{1}{20}} $$

$1.024 < 1.025$ であるから

$$ 1.024 < 2^{\frac{1}{20}} $$

両辺は正であるから、20乗して

$$ 1.024^{20} < 2 $$

以上より

$$ 1.48 < 1.024^{20} < 2 $$

各辺に $10^{60}$ を掛けて

$$ 1.48 \times 10^{60} < 2^{200} < 2 \times 10^{60} $$

これより、$10^{60} < 2^{200} < 10^{61}$ が成り立つので、$2^{200}$ の桁数は $61$ 桁である。

また、最高位の数は $1$ である。

(iii)

(ii)の考察から $2^{10} = 1024 > 1000 = 10^3$

両辺の常用対数をとると

$$ \log_{10} 2^{10} > \log_{10} 10^3 $$

$$ 10 \log_{10} 2 > 3 $$

$$ \log_{10} 2 > 0.300 $$

また、(ii)の後半で示した不等式より

$$ 2^{200} < 2 \times 10^{60} $$

両辺の常用対数をとると

$$ \log_{10} 2^{200} < \log_{10} (2 \times 10^{60}) $$

$$ 200 \log_{10} 2 < \log_{10} 2 + 60 $$

$$ 199 \log_{10} 2 < 60 $$

$$ \log_{10} 2 < \frac{60}{199} $$

ここで、$\frac{60}{199}$ と $0.302$ の大小を比較する。

$$ 0.302 \times 199 = 0.302 \times (200 - 1) = 60.4 - 0.302 = 60.098 $$

$60.098 > 60$ であるから

$$ \frac{60}{199} < 0.302 $$

したがって

$$ \log_{10} 2 < 0.302 $$

以上より

$$ 0.300 < \log_{10} 2 < 0.302 $$

が示された。

解説

前問の結果を利用して巧みに値を評価していく、誘導形式の良問である。 (i) は微分を利用した標準的な不等式の証明である。 (ii) では注釈にある $2^{10} \approx 10^3$ を手がかりに、残りの誤差部分 $(1.024)^{20}$ の大きさを評価する。下限は二項定理の一次近似で求まり、上限は(i)の不等式において $x=1, \alpha=\frac{1}{20}$ を代入することで鮮やかに $2$ 未満であることが示される。 (iii) も同様に(ii)で得られた $10^3 < 2^{10}$ および $2^{199} < 10^{60}$ という具体的な大小関係に対して常用対数をとるだけで、目的の評価式が得られる。