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名古屋大学 1969年文系第7問解説

注意

画像に「右の数表」が含まれていないため、解答を完全に作成することができません。以下は、問題文の条件から読み取れる各関数の性質に基づいた、想定される解答の方針と途中までの解説です。

方針・初手

与えられた5つの関数の $0 < x < \frac{\pi}{2}$ における増減と凸性を調べます。問題文にある $b = \frac{a+c}{2}$ という条件は、$x=a, b, c$ が等間隔に並んでいることを示しています。したがって、数表の各値から $f(b)$ と $\frac{f(a)+f(c)}{2}$ の大小関係を読み取ることでグラフの凸性を判別し、関数を特定していくのが基本的な流れになります。

解法1

候補となる5つの関数をそれぞれ次のように定義する。

$$g_1(x) = \sin x$$

$$g_2(x) = \cos x$$

$$g_3(x) = 2^x - 1$$

$$g_4(x) = \frac{\pi}{2}x^2$$

$$g_5(x) = 3^{-x}$$

区間 $0 < x < \frac{\pi}{2}$ における各関数の導関数と第2次導関数を計算し、増減および凸性を調べる。

(i) $g_1(x) = \sin x$ について

$$g_1'(x) = \cos x > 0$$

$$g_1''(x) = -\sin x < 0$$

よって、$g_1(x)$ は単調増加であり、上に凸である。

(ii) $g_2(x) = \cos x$ について

$$g_2'(x) = -\sin x < 0$$

$$g_2''(x) = -\cos x < 0$$

よって、$g_2(x)$ は単調減少であり、上に凸である。

(iii) $g_3(x) = 2^x - 1$ について

$$g_3'(x) = 2^x \log 2 > 0$$

$$g_3''(x) = 2^x (\log 2)^2 > 0$$

よって、$g_3(x)$ は単調増加であり、下に凸である。

(iv) $g_4(x) = \frac{\pi}{2}x^2$ について

$$g_4'(x) = \pi x > 0$$

$$g_4''(x) = \pi > 0$$

よって、$g_4(x)$ は単調増加であり、下に凸である。

(v) $g_5(x) = 3^{-x}$ について

$$g_5'(x) = -3^{-x} \log 3 < 0$$

$$g_5''(x) = 3^{-x} (\log 3)^2 > 0$$

よって、$g_5(x)$ は単調減少であり、下に凸である。

以上の結果をまとめると、以下のようになる。

単調減少する関数は $\cos x$ (上に凸) と $3^{-x}$ (下に凸) の2つである。
単調増加する関数は $\sin x$ (上に凸)、$2^x - 1$ (下に凸)、$\frac{\pi}{2}x^2$ (下に凸) の3つである。

ここで、$a, b, c$ は $b = \frac{a+c}{2}$ を満たすため、数表の各関数において $x=b$ での値と両端の平均値を比較することで凸性が判定できる。

$f(b) > \frac{f(a)+f(c)}{2}$ を満たすならば、その関数は上に凸である。
$f(b) < \frac{f(a)+f(c)}{2}$ を満たすならば、その関数は下に凸である。

実際の数表が与えられていれば、まず各関数が単調増加か単調減少かを確認し、次に上記の中点での値の比較を用いて凸性を調べることで、$\sin x$, $\cos x$, $3^{-x}$ は一意に特定できる。

残る $2^x - 1$ と $\frac{\pi}{2}x^2$ はどちらも「単調増加かつ下に凸」であるが、数表の具体的な数値（例えば $x$ が $0$ に近いときの増加の度合いの違いなど）を比較することで区別が可能となるはずである。

（数表がないため、関数の特定および理由の記述はここまでとする）

解説

与えられた離散的な数値データ（数表）から、元の関数の性質を見抜く問題です。等差数列をなす $x$ 座標に対する $y$ の値が与えられたとき、その階差をとることで導関数（増減）の性質を、さらに関数の中央値と両端の平均を比較することで第2次導関数（凸性）の性質を大まかに把握できる、という解析学の基本的な発想が問われています。