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東京大学 1970年理系第1問解説

方針・初手

ド・モアブルの定理より、$a$ は $1$ の原始 $6$ 乗根（$a^6 = 1$ かつ $1 \leqq k \leqq 5$ について $a^k \neq 1$）であることを見抜く。分母は方程式 $z^6 - 1 = 0$ の因数分解を利用することで定数となる。分子は $n$ の値によって周期的に変化するため、$n$ と $6$ の互いに素な関係に着目して場合分けを行う。

解法1

(1)

ド・モアブルの定理より、

$$ a^n = \left(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}\right)^n = \cos \frac{n\pi}{3} + i \sin \frac{n\pi}{3} $$

$n = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ のとき、$a^n$ は複素数平面上の単位円周を $6$ 等分する点であり、これらはすべて異なる。

また、$n$ が任意の自然数のとき、$n = 6q + r$ ($q$ は $0$ 以上の整数、$r$ は $1, 2, 3, 4, 5, 6$ のいずれか) と表せる。

このとき、$a^6 = \cos 2\pi + i \sin 2\pi = 1$ であるから、

$$ a^n = a^{6q+r} = (a^6)^q \cdot a^r = 1^q \cdot a^r = a^r $$

となる。

よって、$a^n$ の値は $a^1, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6$ のいずれかに一致するため、$6$ 個の異なる値をとり得る。

(2)

方程式 $z^6 - 1 = 0$ の解は、$z = a^k$ ($k = 1, 2, 3, 4, 5, 6$) である。

因数定理より、

$$ z^6 - 1 = (z - a)(z - a^2)(z - a^3)(z - a^4)(z - a^5)(z - a^6) $$

$a^6 = 1$ であるから、次のように変形できる。

$$ z^6 - 1 = (z - 1)(z - a)(z - a^2)(z - a^3)(z - a^4)(z - a^5) $$

ここで、$z^6 - 1 = (z - 1)(z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1)$ であるから、恒等式として次が成り立つ。

$$ z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = (z - a)(z - a^2)(z - a^3)(z - a^4)(z - a^5) $$

この両辺に $z = 1$ を代入すると、

$$ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = (1 - a)(1 - a^2)(1 - a^3)(1 - a^4)(1 - a^5) $$

よって、与式の分母の値は $6$ となる。

次に、与式の分子を $P(n) = (1 - a^n)(1 - a^{2n})(1 - a^{3n})(1 - a^{4n})(1 - a^{5n})$ とおき、$n$ の値によって場合分けを行う。

(i) $n$ が $2$ の倍数のとき

$n = 2m$ ($m$ は自然数) とおける。このとき、$3n = 6m$ となるため、

$$ a^{3n} = a^{6m} = (a^6)^m = 1^m = 1 $$

したがって、$1 - a^{3n} = 0$ となるため、分子 $P(n) = 0$ である。

(ii) $n$ が $3$ の倍数のとき

$n = 3l$ ($l$ は自然数) とおける。このとき、$2n = 6l$ となるため、

$$ a^{2n} = a^{6l} = (a^6)^l = 1^l = 1 $$

したがって、$1 - a^{2n} = 0$ となるため、分子 $P(n) = 0$ である。

(iii) $n$ が $2$ の倍数でも $3$ の倍数でもないとき

$n$ と $6$ は互いに素である。このとき、$k = 1, 2, 3, 4, 5$ に対して、$kn$ を $6$ で割った余りはすべて異なり、かつ $0$ ではない。

なぜなら、もし $1 \leqq k_1 < k_2 \leqq 5$ となる $k_1, k_2$ で $k_1 n \equiv k_2 n \pmod 6$ となると仮定すると、$(k_2 - k_1)n$ が $6$ の倍数となる。

しかし、$n$ と $6$ は互いに素であり、$1 \leqq k_2 - k_1 \leqq 4$ であるから矛盾する。

したがって、$a^n, a^{2n}, a^{3n}, a^{4n}, a^{5n}$ の $5$ つの数は、$a, a^2, a^3, a^4, a^5$ を並べ替えたものに一致する。

ゆえに、このときの分子の値は、

$$ P(n) = (1 - a)(1 - a^2)(1 - a^3)(1 - a^4)(1 - a^5) = 6 $$

となる。

以上より、与式を $X(n)$ とおくと、

$n$ が $2$ の倍数または $3$ の倍数のとき、$X(n) = \frac{0}{6} = 0$
$n$ が $2$ でも $3$ でも割り切れないとき、$X(n) = \frac{6}{6} = 1$

解説

$1$ の累乗根の性質を上手く利用する典型問題である。分母の計算においては、$z^n - 1$ の因数分解を利用して特定の値を代入する手法が頻出である。分子の計算においては、周期性から $n \pmod 6$ で分類することが基本となる。本解法のように $n$ と $6$ の最大公約数で場合分けをすると、見通しよく記述することができる。