東京大学 2009年 文系 第4問 解説

方針・初手

与えられた条件から $f(x)$ の係数を決定し、$S$ の被積分関数を $a$ を用いて表す。 絶対値記号を含む定積分は、被積分関数の符号によって積分区間を分割して計算するのが基本である。導関数 $f'(x)$ が積分区間 $[0, 2]$ で符号変化するかどうかに着目して場合分けを行う。

解法1

(1) $f(x) = ax^2 + bx + c$ とする。条件より、

$$ f(0) = 0 \iff c = 0 $$

$$ f(2) = 2 \iff 4a + 2b + c = 2 $$

これらを解くと $c = 0$、$b = 1 - 2a$ となるため、

$$ f(x) = ax^2 + (1 - 2a)x $$

$$ f'(x) = 2ax + 1 - 2a $$

したがって、求める定積分 $S$ は

$$ S = \int_0^2 |2ax + 1 - 2a| dx $$

$g(x) = 2ax + 1 - 2a$ とおく。積分区間 $[0, 2]$ における $g(x)$ の符号変化を調べる。 $g(x) = 0$ を満たす $x$ は、$a \neq 0$ のとき $x = 1 - \frac{1}{2a}$ である。この解が $0 < x < 2$ の範囲にある条件は、

$$ 0 < 1 - \frac{1}{2a} < 2 $$

$$ -1 < -\frac{1}{2a} < 1 $$

$a > 0$ のときは $2a > 1$ より $a > \frac{1}{2}$、$a < 0$ のときは $-2a > 1$ より $a < -\frac{1}{2}$ となる。 これらを踏まえ、以下の3つの場合に分ける。

(i)

$-\frac{1}{2} \le a \le \frac{1}{2}$ のとき 区間 $0 \le x \le 2$ において $g(x)$ の符号は変化せず、$g(1) = 1 > 0$ であるから常に $g(x) \ge 0$ となる。

$$ S = \int_0^2 (2ax + 1 - 2a) dx = \left[ ax^2 + (1 - 2a)x \right]_0^2 = 4a + 2(1 - 2a) = 2 $$

(ii)

$a > \frac{1}{2}$ のとき $\alpha = 1 - \frac{1}{2a}$ とおくと、$0 < \alpha < 1$ である。 $2a > 0$ より $g(x)$ は単調増加であるから、$0 \le x \le \alpha$ で $g(x) \le 0$、$\alpha \le x \le 2$ で $g(x) \ge 0$ となる。

$$ S = \int_0^\alpha \{ -g(x) \} dx + \int_\alpha^2 g(x) dx $$

$$ \int g(x) dx = f(x) + C $$

であることを利用すると、

$$ S = - \left[ f(x) \right]_0^\alpha + \left[ f(x) \right]_\alpha^2 = -f(\alpha) + f(0) + f(2) - f(\alpha) = f(0) + f(2) - 2f(\alpha) $$

$f(0) = 0, f(2) = 2$ であり、また $g(\alpha) = 2a\alpha + 1 - 2a = 0$ より $1 - 2a = -2a\alpha$ であるから、

$$ f(\alpha) = a\alpha^2 + (1 - 2a)\alpha = a\alpha^2 - 2a\alpha^2 = -a\alpha^2 $$

$$ = -a \left( 1 - \frac{1}{2a} \right)^2 = -a \left( 1 - \frac{1}{a} + \frac{1}{4a^2} \right) = -a + 1 - \frac{1}{4a} $$

これを代入して、

$$ S = 2 - 2\left( -a + 1 - \frac{1}{4a} \right) = 2a + \frac{1}{2a} $$

(iii)

$a < -\frac{1}{2}$ のとき 同様に $\alpha = 1 - \frac{1}{2a}$ とおくと、$1 < \alpha < 2$ である。 $2a < 0$ より $g(x)$ は単調減少であるから、$0 \le x \le \alpha$ で $g(x) \ge 0$、$\alpha \le x \le 2$ で $g(x) \le 0$ となる。

$$ S = \int_0^\alpha g(x) dx + \int_\alpha^2 \{ -g(x) \} dx $$

$$ S = \left[ f(x) \right]_0^\alpha - \left[ f(x) \right]_\alpha^2 = f(\alpha) - f(0) - \{ f(2) - f(\alpha) \} = 2f(\alpha) - 2 $$

$f(\alpha)$ の計算は（ii）と同じであるから、

$$ S = 2\left( -a + 1 - \frac{1}{4a} \right) - 2 = -2a - \frac{1}{2a} $$

以上をまとめて、$S$ は $a$ の関数として次のように表される。

$$ S = \begin{cases} -2a - \frac{1}{2a} & \left( a < -\frac{1}{2} \right) \\ 2 & \left( -\frac{1}{2} \le a \le \frac{1}{2} \right) \\ 2a + \frac{1}{2a} & \left( a > \frac{1}{2} \right) \end{cases} $$

(2) （1）の結果をもとに最小値を求める。

(i)

$-\frac{1}{2} \le a \le \frac{1}{2}$ のとき 常に $S = 2$ である。

(ii)

$a > \frac{1}{2}$ のとき $2a > 0$ かつ $\frac{1}{2a} > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より

$$ S = 2a + \frac{1}{2a} \ge 2\sqrt{2a \cdot \frac{1}{2a}} = 2 $$

等号が成立するのは $2a = \frac{1}{2a}$ より $a^2 = \frac{1}{4}$ のときであるが、これは $a > \frac{1}{2}$ を満たさない。したがって、この区間では $S > 2$ である。

(iii)

$a < -\frac{1}{2}$ のとき $-2a > 0$ かつ $-\frac{1}{2a} > 0$ であるから、同様に相加平均と相乗平均の大小関係より

$$ S = (-2a) + \left( -\frac{1}{2a} \right) \ge 2\sqrt{(-2a) \cdot \left( -\frac{1}{2a} \right)} = 2 $$

等号が成立するのは $-2a = -\frac{1}{2a}$ より $a^2 = \frac{1}{4}$ のときであるが、これも $a < -\frac{1}{2}$ を満たさない。したがって、この区間でも $S > 2$ である。

以上より、すべての実数 $a$ において $S \ge 2$ が成り立ち、最小値をとるのは $-\frac{1}{2} \le a \le \frac{1}{2}$ のときである。 よって、$S$ の最小値は $2$ である。

解法2

（1）の別解（図形的考察によるアプローチ）

$f'(x) = 2a(x - 1) + 1$ であり、求める定積分 $S$ は

$$ S = \int_0^2 |2a(x - 1) + 1| dx $$

である。これは、直線 $L: y = 2a(x - 1) + 1$ と $x$ 軸、および2直線 $x = 0, x = 2$ で囲まれた図形の面積を表す。 直線 $L$ は定点 $(1, 1)$ を通る傾き $2a$ の直線である。区間の両端における $y$ 座標は、それぞれ $1 - 2a$ （$x=0$ のとき）、$1 + 2a$ （$x=2$ のとき）である。

(i)

$1 - 2a \ge 0$ かつ $1 + 2a \ge 0$ のとき すなわち $-\frac{1}{2} \le a \le \frac{1}{2}$ のとき、区間 $0 \le x \le 2$ で直線 $L$ は常に $x$ 軸の上側（境界を含む）にある。 図形は台形（または直角三角形、長方形）となるため、面積 $S$ は

$$ S = \frac{1}{2} \{ (1 - 2a) + (1 + 2a) \} \times 2 = 2 $$

(ii)

$x = 0$ 側の $y$ 座標が負のとき $1 - 2a < 0$ すなわち $a > \frac{1}{2}$ のとき。定点 $(1, 1)$ を通るため $1 + 2a > 0$ である。 直線 $L$ と $x$ 軸の交点の $x$ 座標は $1 - \frac{1}{2a}$ となる。 面積 $S$ は2つの直角三角形の面積の和となり、底辺はそれぞれ $1 - \frac{1}{2a}$ と $2 - \left( 1 - \frac{1}{2a} \right) = 1 + \frac{1}{2a}$、高さはそれぞれ $-(1 - 2a) = 2a - 1$ と $1 + 2a$ である。

$$ S = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2a} \right) (2a - 1) + \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2a} \right) (2a + 1) $$

$$ = \frac{1}{2} \cdot \frac{2a - 1}{2a} \cdot (2a - 1) + \frac{1}{2} \cdot \frac{2a + 1}{2a} \cdot (2a + 1) $$

$$ = \frac{(2a - 1)^2 + (2a + 1)^2}{4a} = \frac{8a^2 + 2}{4a} = 2a + \frac{1}{2a} $$

(iii)

$x = 2$ 側の $y$ 座標が負のとき $1 + 2a < 0$ すなわち $a < -\frac{1}{2}$ のとき。定点 $(1, 1)$ を通るため $1 - 2a > 0$ である。 交点の $x$ 座標は同様に $1 - \frac{1}{2a}$ である。 2つの直角三角形の底辺は先ほどと同じであり、高さはそれぞれ $1 - 2a$ と $-(1 + 2a) = -2a - 1$ となる。

$$ S = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2a} \right) (1 - 2a) + \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2a} \right) (-2a - 1) $$

$$ = \frac{1}{2} \cdot \frac{2a - 1}{2a} \cdot \{ -(2a - 1) \} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2a + 1}{2a} \cdot \{ -(2a + 1) \} $$

$$ = -\frac{(2a - 1)^2 + (2a + 1)^2}{4a} = -2a - \frac{1}{2a} $$

結果は解法1と一致する。

解説

絶対値を含む定積分は、グラフの面積的意味を考えることで視覚的に分かりやすくなることが多い。本問では被積分関数が一次関数であるため、解法2のように図形（三角形や台形）の面積として計算することで、複雑な積分計算や原始関数の代入ミスを防ぐことができる。 （2）は分数式を含む関数であるため、微分して増減表を書くことでも最小値を求められるが、相加平均と相乗平均の大小関係を用いるのが最も簡潔な処理である。

答え

(1)

$$ S = \begin{cases} -2a - \frac{1}{2a} & \left( a < -\frac{1}{2} \right) \\ 2 & \left( -\frac{1}{2} \le a \le \frac{1}{2} \right) \\ 2a + \frac{1}{2a} & \left( a > \frac{1}{2} \right) \end{cases} $$

(2)

$$ 2 $$