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東京大学 1973年理系第4問解説

方針・初手

正方形 $S$ の中心を原点に設定し、座標平面上で考える。正方形の各辺は座標軸に平行であるとしてよい。このとき、$x$ 軸方向と $y$ 軸方向の共通部分の長さをそれぞれ独立に計算することができる。点 $P$ の座標を用いて共通部分の長さを表し、その積が面積となることを利用して不等式を立てる。また、対称性に注目することで、図示と面積計算の負担を軽減する。

解法1

正方形 $S$ の中心を原点 $\text{O}(0,0)$ とし、各辺が座標軸に平行となるように座標平面を設定する。このとき、$S$ が表す領域は、

$$ -\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}, \quad -\frac{1}{2} \le y \le \frac{1}{2} $$

である。また、点 $P(X, Y)$ を中心とする正方形 $T(P)$ が表す領域は、

$$ X - \frac{1}{2} \le x \le X + \frac{1}{2}, \quad Y - \frac{1}{2} \le y \le Y + \frac{1}{2} $$

である。

$S$ と $T(P)$ の共通部分が空でないとき、それは長方形（またはその退化である線分や点）となる。その横の長さ $L_x$ は、$x$ についての2つの区間 $\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$ と $\left[X - \frac{1}{2}, X + \frac{1}{2}\right]$ の共通部分の長さである。 $-1 \le X \le 1$ のとき、共通部分が存在し、その長さは

$$ L_x = \min\left(\frac{1}{2}, X + \frac{1}{2}\right) - \max\left(-\frac{1}{2}, X - \frac{1}{2}\right) = 1 - |X| $$

となる。（$|X| > 1$ のときは $L_x = 0$ となり、共通部分の面積が $0$ になるため条件を満たさない。したがって以下では $-1 \le X \le 1$ としてよい。）同様に、縦の長さ $L_y$ は $-1 \le Y \le 1$ のとき、

$$ L_y = 1 - |Y| $$

となる。

共通部分の面積を $U$ とすると、$U = L_x L_y$ である。条件 $U \ge \frac{1}{2}$ より、

$$ (1 - |X|)(1 - |Y|) \ge \frac{1}{2} $$

が成り立つ。ここで、変数 $X, Y$ を $x, y$ に置き換え、点 $P(x,y)$ の満たすべき条件を考えると、

$$ (1 - |x|)(1 - |y|) \ge \frac{1}{2} $$

となる。

この不等式は $x$ と $-x$、$y$ と $-y$ の入れ替えに対して不変であるため、点 $P$ の存在範囲は $x$ 軸、$y$ 軸、原点に関してそれぞれ対称である。したがって、第1象限（$x \ge 0, y \ge 0$）における領域を調べ、それを対称移動すればよい。

第1象限において、満たすべき条件は

$$ (1 - x)(1 - y) \ge \frac{1}{2} $$

である。これより $1 - x > 0$ すなわち $x < 1$ のもとで、

$$ 1 - y \ge \frac{1}{2(1 - x)} $$

$$ y \le 1 - \frac{1}{2(1 - x)} = 1 + \frac{1}{2(x - 1)} $$

が得られる。（また、このとき $y \ge 0$ より $1 + \frac{1}{2(x - 1)} \ge 0$、すなわち $x \le \frac{1}{2}$ が必要である）

境界線 $y = 1 + \frac{1}{2(x - 1)}$ は、双曲線 $y = \frac{1}{2x}$ を $x$ 軸方向に $1$、$y$ 軸方向に $1$ 平行移動したものである。この曲線と座標軸との交点は、 $x = 0$ のとき $y = \frac{1}{2}$ $y = 0$ のとき $2(x - 1) = -1$ より $x = \frac{1}{2}$ となる。よって、第1象限における点 $P$ の存在範囲は、

$$ 0 \le x \le \frac{1}{2}, \quad 0 \le y \le 1 + \frac{1}{2(x - 1)} $$

で表される領域である。これを対称移動して得られる全体図形が求める存在範囲となる。

次に、この領域の面積 $S_{total}$ を求める。第1象限における面積を $S_1$ とすると、

$$ S_1 = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \left\{ 1 + \frac{1}{2(x - 1)} \right\} dx $$

$$ = \left[ x + \frac{1}{2} \log |x - 1| \right]_{0}^{\frac{1}{2}} $$

$$ = \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \log \frac{1}{2} \right) - \left( 0 + \frac{1}{2} \log 1 \right) $$

$$ = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \log 2 $$

全体の面積 $S_{total}$ は、対称性から $S_1$ の $4$ 倍であるから、

$$ S_{total} = 4 S_1 = 4 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \log 2 \right) = 2 - 2 \log 2 $$

となる。

解説

2つの正方形の共通部分の面積を考える典型的な問題である。各辺が座標軸に平行な長方形や正方形の共通部分は、各座標軸への射影（区間）の共通部分の積として面積を計算できる性質を利用するのが定石である。絶対値を含む不等式が現れた際は、いきなり全体を場合分けして解くのではなく、グラフの対称性に気づくことで計算量を大幅に減らすことができる。積分計算自体は基本的な対数関数の積分に帰着する。

答え

図示について: 点 $P(x, y)$ の存在範囲は、$x$ 軸、$y$ 軸、原点に関して対称であり、以下の4つの曲線で囲まれた領域の内部および境界線である（図は省略し形状を説明する）。

第1象限: 曲線 $y = 1 + \frac{1}{2(x - 1)}$ （$0 \le x \le \frac{1}{2}$）
第2象限: 曲線 $y = 1 - \frac{1}{2(x + 1)}$ （$-\frac{1}{2} \le x \le 0$）
第3象限: 曲線 $y = -1 + \frac{1}{2(x + 1)}$ （$-\frac{1}{2} \le x \le 0$）
第4象限: 曲線 $y = -1 - \frac{1}{2(x - 1)}$ （$0 \le x \le \frac{1}{2}$）各座標軸との交点は $\left(\frac{1}{2}, 0\right), \left(-\frac{1}{2}, 0\right), \left(0, \frac{1}{2}\right), \left(0, -\frac{1}{2}\right)$ である。

面積:

$$ 2 - 2\log 2 $$