東京大学 2022年 理系 第3問 解説

方針・初手

条件の否定を図形化し、除外される領域の面積を数える。 「点 $S$ が点 $T$ から十分離れていない」とは

$$ |x_1 - x_2| < 1 \quad \text{かつ} \quad |y_1 - y_2| < 1 $$

が成り立つことだ。これは、点 $S$ が点 $T$ を中心とする 1 辺の長さが $2$ の正方形の内部にあることを表す。 この領域を $D$ から除いていくことで、条件を満たす点の存在範囲を求める。

解法1

(1)

点 $P(a, b)$ とおく。条件 (i) より、点 $P$ は放物線 $y = x^2$ 上にあるので $b = a^2$。また、領域 $D$ の点であるから、

$$ 0 \leqq a \leqq 3 \quad \text{かつ} \quad 0 \leqq a^2 \leqq 3 $$

これより、$0 \leqq a \leqq \sqrt{3}$ が必要である。

条件 (ii) は、点 $P(a, a^2)$ が $O(0, 0), A(3, 0), B(3, 3)$ のいずれからも十分離れていることである。 これが成り立たない（十分離れていない）条件は、各点との座標の差の絶対値がともに $1$ 未満になることである。

$O(0, 0)$ から十分離れている条件： $|a| \geqq 1$ または $|a^2| \geqq 1$ $a \geqq 0$ より、$a \geqq 1$ または $a^2 \geqq 1$。すなわち $a \geqq 1$。

$A(3, 0)$ から十分離れている条件： $|a - 3| \geqq 1$ または $|a^2| \geqq 1$ $0 \leqq a \leqq \sqrt{3}$ のとき、$3 - a \geqq 3 - \sqrt{3} > 1$ より $|a - 3| > 1$ はつねに成り立つ。したがってこの条件は満たされる。

$B(3, 3)$ から十分離れている条件： $|a - 3| \geqq 1$ または $|a^2 - 3| \geqq 1$ 先ほどと同様に $|a - 3| > 1$ がつねに成り立つため、この条件も満たされる。

以上より、$0 \leqq a \leqq \sqrt{3}$ と $a \geqq 1$ を同時に満たす範囲が求める $a$ の値の範囲である。

$$ 1 \leqq a \leqq \sqrt{3} $$

(2)

点 $K(x_0, y_0)$ から「十分離れていない」点の集合を $U_K$ とする。

$$ U_K = \{ (x, y) \mid |x - x_0| < 1 \text{ かつ } |y - y_0| < 1 \} $$

条件 (iv) を満たす点 $Q(x, y)$ は、領域 $D$ 内のうち、$U_O, U_A, U_B, U_P$ のいずれにも属さない点である。 したがって、$f(a)$ は領域 $D$ の面積から、$(U_O \cup U_A \cup U_B \cup U_P) \cap D$ の面積を除いたものである。

$D \cap U_O$, $D \cap U_A$, $D \cap U_B$ はそれぞれ以下の領域となる。

$$ D \cap U_O = \{ (x, y) \mid 0 \leqq x < 1, 0 \leqq y < 1 \} $$

$$ D \cap U_A = \{ (x, y) \mid 2 < x \leqq 3, 0 \leqq y < 1 \} $$

$$ D \cap U_B = \{ (x, y) \mid 2 < x \leqq 3, 2 < y \leqq 3 \} $$

これらは互いに交わらず、それぞれの面積は $1 \times 1 = 1$ である。

次に $U_P$ について考える。

$$ U_P = \{ (x, y) \mid a - 1 < x < a + 1, a^2 - 1 < y < a^2 + 1 \} $$

$1 \leqq a \leqq \sqrt{3}$ において、 $0 \leqq a - 1 < 1 \leqq a < a + 1 \leqq \sqrt{3} + 1 < 3$ となるため、$U_P$ の $x$ 座標の範囲はつねに領域 $D$ の $x$ 座標の範囲 ($0 \leqq x \leqq 3$) に含まれる。 一方、$y$ 座標については $0 \leqq a^2 - 1 \leqq 2$ であるが、$a^2 + 1$ の値は $a$ によって $3$ を超える場合があるため、場合分けを行う。

(i) $a^2 + 1 \leqq 3$ すなわち $1 \leqq a \leqq \sqrt{2}$ のとき $U_P$ は完全に領域 $D$ の内部に含まれ、その面積は $2 \times 2 = 4$ である。 各領域との共通部分の面積を求める。 $U_P$ と $U_O$ の共通部分は、$a - 1 < x < 1$ かつ $a^2 - 1 < y < 1$ であり、面積は $(2 - a)(2 - a^2)$。 $U_P$ と $U_A$ の共通部分は、$2 < x < a + 1$ かつ $a^2 - 1 < y < 1$ であり、面積は $(a - 1)(2 - a^2)$。 $U_P$ と $U_B$ の共通部分は、$2 < x < a + 1$ かつ $2 < y < a^2 + 1$ であり、面積は $(a - 1)(a^2 - 1)$。 除外する領域の総面積 $S(a)$ は、

$$ \begin{aligned} S(a) &= 1 + 1 + 1 + 4 - \{ (2 - a)(2 - a^2) + (a - 1)(2 - a^2) + (a - 1)(a^2 - 1) \} \\ &= 7 - \{ (2 - a^2)(2 - a + a - 1) + (a - 1)(a^2 - 1) \} \\ &= 7 - \{ (2 - a^2) + a^3 - a^2 - a + 1 \} \\ &= -a^3 + 2a^2 + a + 4 \end{aligned} $$

よって、$f(a)$ は領域 $D$ の面積 $9$ から $S(a)$ を引いて、

$$ f(a) = 9 - (-a^3 + 2a^2 + a + 4) = a^3 - 2a^2 - a + 5 $$

(ii) $a^2 + 1 > 3$ すなわち $\sqrt{2} < a \leqq \sqrt{3}$ のとき $U_P \cap D$ の $y$ 座標の範囲は $a^2 - 1 < y \leqq 3$ となり、面積は $2 \times (3 - (a^2 - 1)) = 8 - 2a^2$ である。 このとき $a^2 - 1 > 1$ であるから、$U_P$ は $U_O$ および $U_A$ とは交わらない。 $U_P$ と $U_B$ の共通部分は、$2 < x < a + 1$ かつ $2 < y \leqq 3$ であり、面積は $(a - 1) \times 1 = a - 1$。 除外する領域の総面積 $S(a)$ は、

$$ S(a) = 1 + 1 + 1 + (8 - 2a^2) - (a - 1) = -2a^2 - a + 12 $$

よって、$f(a)$ は領域 $D$ の面積 $9$ から $S(a)$ を引いて、

$$ f(a) = 9 - (-2a^2 - a + 12) = 2a^2 + a - 3 $$

以上より、求める面積 $f(a)$ は

$$ f(a) = \begin{cases} a^3 - 2a^2 - a + 5 & (1 \leqq a \leqq \sqrt{2} \text{ のとき}) \\ 2a^2 + a - 3 & (\sqrt{2} < a \leqq \sqrt{3} \text{ のとき}) \end{cases} $$

(3)

(2) で求めた $f(a)$ の増減を調べる。

(i) $1 \leqq a \leqq \sqrt{2}$ のとき

$$ f'(a) = 3a^2 - 4a - 1 $$

$f'(a) = 0$ を解くと $a = \frac{2 \pm \sqrt{7}}{3}$。 ここで、$2 < \sqrt{7} < 3$ より $4 < 2 + \sqrt{7} < 5$ であるから、$\frac{4}{3} < \frac{2 + \sqrt{7}}{3} < \frac{5}{3}$。 また、$\sqrt{2} < 1.42$、$\frac{4}{3} > 1.33$ の概算から大小を比較する。 $(2+\sqrt{7})^2 = 11 + 4\sqrt{7} > 11 + 4 \times 2.64 = 21.56$ $(3\sqrt{2})^2 = 18$ よって $\frac{2+\sqrt{7}}{3} > \sqrt{2}$ である。 したがって、$1 \leqq a \leqq \sqrt{2}$ の範囲においては常につねに $f'(a) < 0$ となり、$f(a)$ は単調に減少する。

(ii) $\sqrt{2} < a \leqq \sqrt{3}$ のとき

$$ f'(a) = 4a + 1 $$

この範囲において $f'(a) > 0$ であるから、$f(a)$ は単調に増加する。

（i）, （ii） より、$f(a)$ は $a = \sqrt{2}$ のとき最小となる。

解説

条件の否定を図形として捉え、除外する部分の面積を数えるのが中心となる。

$U_P$ が領域 $D$ の上辺 $y=3$ に触れるのは $a^2+1=3$、すなわち $a=\sqrt{2}$ のときである。この点を境に場合分けすれば、包含と排除で面積を整理しやすい。

答え

(1)

$$ 1 \leqq a \leqq \sqrt{3} $$

(2)

$$ f(a) = \begin{cases} a^3 - 2a^2 - a + 5 & (1 \leqq a \leqq \sqrt{2} \text{ のとき}) \\ 2a^2 + a - 3 & (\sqrt{2} < a \leqq \sqrt{3} \text{ のとき}) \end{cases} $$

(3)

$$ a = \sqrt{2} $$