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東京大学 1974年理系第3問解説

方針・初手

投影図の約束事に従い、空間内の点 $A, B$ の座標を空間座標系に翻訳することから始める。平面図の座標系をそのまま $xy$ 平面上の座標 $(x,y)$ とし、平画面に垂直な方向を $z$ 軸にとる。その後、与えられた2つの角度条件（平画面に対する傾き、直線 $AB$ とのなす角）をベクトルや図形の計量として立式し、連立して解く。

解法1

平画面を $xy$ 平面 ($z=0$) とする。平面図上の座標系は、点 $B$ の平面図 $b$ を原点 $(0,0)$ とし、$ab$ を $x$ 軸、$bb'$ を $y$ 軸としている。図より、点 $a$ の座標は $(1,0)$ である。

空間内の点の平画面からの高さ（$z$ 座標）は、投影図における基線からの距離として表される。基線は平面図上で $b'$ を通り $x$ 軸に平行な直線であり、図の寸法から $y=1$ の直線であると読み取れる。点 $B$ の立面図 $b'$ は基線上にあるため高さは $z=0$ であり、空間座標は $B(0,0,0)$ となる。点 $A$ の立面図 $a'$ は基線から上に距離 $1$ の位置にあるため高さは $z=1$ であり、平面図が $a(1,0)$ であることから空間座標は $A(1,0,1)$ となる。

平画面上の跡である点 $C$ の空間座標を $(x,y,0)$ とおく。直線 $AC$ の方向ベクトルは $\vec{AC} = (x-1,y,-1)$ である。直線 $AC$ が平画面となす角が $30^\circ$ であるとき、平画面の法線ベクトル $\vec{n}=(0,0,1)$ と $\vec{AC}$ のなす角は $60^\circ$ または $120^\circ$ となるため、以下の式が成り立つ。

$$ \frac{|\vec{AC} \cdot \vec{n}|}{|\vec{AC}||\vec{n}|} = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $$

$$ \frac{|-1|}{\sqrt{(x-1)^2+y^2+(-1)^2}} = \frac{1}{2} $$

両辺を正として2乗して整理すると、

$$ (x-1)^2 + y^2 + 1 = 4 \iff (x-1)^2 + y^2 = 3 \quad \cdots \text{①} $$

次に、直線 $AC$ が直線 $AB$ となす角が $60^\circ$ である。 $\vec{BA} = (1,0,1)$ であり、$|\vec{BA}| = \sqrt{1^2+0^2+1^2} = \sqrt{2}$ である。①より $|\vec{AC}| = 2$ であることを用いると、以下の式が成り立つ。

$$ \frac{|\vec{AC} \cdot \vec{BA}|}{|\vec{AC}||\vec{BA}|} = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $$

$$ \frac{|(x-1) \cdot 1 + y \cdot 0 + (-1) \cdot 1|}{2 \sqrt{2}} = \frac{1}{2} $$

$$ |x-2| = \sqrt{2} \implies x = 2 \pm \sqrt{2} $$

(i)

$x = 2 + \sqrt{2}$ のとき

①に代入すると、

$$ (1+\sqrt{2})^2 + y^2 = 3 $$

$$ 3 + 2\sqrt{2} + y^2 = 3 \implies y^2 = -2\sqrt{2} $$

これを満たす実数 $y$ は存在しないため不適である。

(ii)

$x = 2 - \sqrt{2}$ のとき

①に代入すると、

$$ (1-\sqrt{2})^2 + y^2 = 3 $$

$$ 3 - 2\sqrt{2} + y^2 = 3 \implies y^2 = 2\sqrt{2} $$

よって、$y = \pm \sqrt{2\sqrt{2}} = \pm \sqrt[4]{8}$ となる。

以上より、平面図の座標系における点 $C$ の座標は $(2-\sqrt{2}, \pm \sqrt[4]{8})$ である。

解法2

空間座標の読み取りまでは解法1と同様であり、$B(0,0,0)$、$A(1,0,1)$、$C(x,y,0)$ とする。

点 $A$ から平画面に下ろした垂線の足を $A'$ とすると、$A'(1,0,0)$ である。これは平面図上の点 $a$ に一致する。直角三角形 $AA'C$ において、$\angle AA'C = 90^\circ$ であり、直線 $AC$ と平画面のなす角は $\angle ACA' = 30^\circ$ であるから、

$$ AC = \frac{AA'}{\sin 30^\circ} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 $$

$$ A'C = \frac{AA'}{\tan 30^\circ} = \sqrt{3} $$

これより、点 $C$ は平画面上において点 $A'(1,0)$ を中心とする半径 $\sqrt{3}$ の円周上にある。すなわち、以下が成り立つ。

$$ (x-1)^2 + y^2 = 3 \implies x^2 + y^2 = 2x + 2 \quad \cdots \text{②} $$

次に、$\triangle ABC$ について考える。 $AB = \sqrt{1^2+0^2+1^2} = \sqrt{2}$ であり、$AC = 2$ である。直線 $AC$ と直線 $AB$ のなす角が $60^\circ$ であるため、$\angle BAC = 60^\circ$ または $120^\circ$ である。$\triangle ABC$ において余弦定理を用いると、

$$ \begin{aligned} BC^2 &= AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cos \angle BAC \\ &= 2 + 4 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 2 \cdot \left(\pm \frac{1}{2}\right) \\ &= 6 \mp 2\sqrt{2} \end{aligned} $$

一方で、平画面上における $B(0,0)$ と $C(x,y)$ の距離の2乗より、$BC^2 = x^2 + y^2$ である。②より $x^2 + y^2 = 2x + 2$ であるから、

$$ 2x + 2 = 6 \mp 2\sqrt{2} $$

$$ 2x = 4 \mp 2\sqrt{2} \implies x = 2 \mp \sqrt{2} $$

$x = 2 + \sqrt{2}$ のとき、$(1+\sqrt{2})^2 + y^2 = 3$ より $y^2 = -2\sqrt{2}$ となり不適である。 $x = 2 - \sqrt{2}$ のとき、$(1-\sqrt{2})^2 + y^2 = 3$ より $y^2 = 2\sqrt{2}$ となり、$y = \pm \sqrt[4]{8}$ を得る。