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東京大学 1989年理系第5問解説

方針・初手

$y$ 軸まわりの回転体の体積を求める基本的な定義式 $V = \pi \int x^2 dy$ を出発点とする。積分変数を $y$ から $x$ に変換（置換積分）し、さらに部分積分を用いることで、与えられた式（いわゆるバウムクーヘン積分の公式）を導出する。導出後は、示された式に $f(x)$ を代入し、適切な置換積分を行って定積分の値を計算する。

解法1

関数 $f(x) = \pi x^2 \sin \pi x^2$ について考える。 $0 \leqq x \leqq 1$ において $0 \leqq \pi x^2 \leqq \pi$ であるから、$f(x) \geqq 0$ であり、$f(0) = 0, f(1) = 0$ を満たす。

$y = f(x)$ のグラフは $0 \leqq x \leqq 1$ において、$x=c$ （$0 < c < 1$）で唯一の極大値（最大値）$h = f(c)$ をとり、$0 \leqq x \leqq c$ で単調増加、$c \leqq x \leqq 1$ で単調減少するとする。（※実際の導関数 $f'(x)$ の解析からも、この区間で極値は1つであることが確認できる）

$0 \leqq x \leqq c$ における $y = f(x)$ の逆関数を $x = x_1(y)$ とし、$c \leqq x \leqq 1$ における $y = f(x)$ の逆関数を $x = x_2(y)$ とおく。求める回転体の体積 $V$ は、外側の半径が $x_2(y)$、内側の半径が $x_1(y)$ の回転体の体積の差として表されるから、

$$ V = \pi \int_{0}^{h} \{ x_2(y) \}^2 dy - \pi \int_{0}^{h} \{ x_1(y) \}^2 dy $$

となる。それぞれの積分において、変数 $y$ を $x$ に置換積分する。 $y = f(x)$ より $dy = f'(x) dx$ である。第1項について、$y$ が $0$ から $h$ まで変化するとき、$x$ は $1$ から $c$ まで変化するので、

$$ \pi \int_{0}^{h} \{ x_2(y) \}^2 dy = \pi \int_{1}^{c} x^2 f'(x) dx = -\pi \int_{c}^{1} x^2 f'(x) dx $$

となる。第2項について、$y$ が $0$ から $h$ まで変化するとき、$x$ は $0$ から $c$ まで変化するので、

$$ \pi \int_{0}^{h} \{ x_1(y) \}^2 dy = \pi \int_{0}^{c} x^2 f'(x) dx $$

となる。これらを $V$ の式に代入すると、

$$ V = -\pi \int_{c}^{1} x^2 f'(x) dx - \pi \int_{0}^{c} x^2 f'(x) dx = -\pi \int_{0}^{1} x^2 f'(x) dx $$

となる。ここで部分積分法を用いると、

$$ V = -\pi \left[ x^2 f(x) \right]_{0}^{1} + \pi \int_{0}^{1} (x^2)' f(x) dx $$

$$ = -\pi \{ 1^2 \cdot f(1) - 0^2 \cdot f(0) \} + \pi \int_{0}^{1} 2x f(x) dx $$

$f(0) = 0, f(1) = 0$ であるから第1項は $0$ となり、

$$ V = 2\pi \int_{0}^{1} x f(x) dx $$

が示された。

次に、この式を用いて体積 $V$ の値を計算する。 $f(x) = \pi x^2 \sin \pi x^2$ を代入すると、

$$ V = 2\pi \int_{0}^{1} x ( \pi x^2 \sin \pi x^2 ) dx = 2\pi^2 \int_{0}^{1} x^3 \sin \pi x^2 dx $$

ここで、$t = \pi x^2$ とおくと、

$$ \frac{dt}{dx} = 2\pi x \quad \iff \quad x dx = \frac{1}{2\pi} dt $$

であり、$x$ と $t$ の対応は以下のようになる。 $x : 0 \to 1$ のとき $t : 0 \to \pi$ また、$x^3 dx = x^2 \cdot x dx = \frac{t}{\pi} \cdot \frac{1}{2\pi} dt = \frac{t}{2\pi^2} dt$ と表せるので、

$$ V = 2\pi^2 \int_{0}^{\pi} (\sin t) \frac{t}{2\pi^2} dt = \int_{0}^{\pi} t \sin t dt $$

となる。再び部分積分法を用いて計算すると、

$$ \int_{0}^{\pi} t (-\cos t)' dt = \left[ -t \cos t \right]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} (-\cos t) dt $$

$$ = (-\pi \cos \pi - 0) + \left[ \sin t \right]_{0}^{\pi} $$

$$ = -\pi \cdot (-1) + (\sin \pi - \sin 0) $$

$$ = \pi $$

したがって、求める体積は $\pi$ である。

解説

いわゆる「バウムクーヘン積分（円柱殻法）」の公式を証明し、それを用いて実際に体積を計算する問題である。公式の結果だけを暗記して使うのではなく、$y$ 軸まわりの回転体の基本定義 $V = \pi \int x^2 dy$ をもとに、置換積分と部分積分を組み合わせて自力で導出できるかが問われる。この導出のプロセスは国公立大学の記述試験で頻出である。また、後半の積分計算では、$x^2$ をかたまりと見て $t = \pi x^2$ と置換することで、積分の形を劇的に簡単にすることができる。積分すべき式の中に「関数のまとまり」とその「微分形」が隠れていることを見抜くのがポイントである。