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東京大学 1991年理系第6問解説

方針・初手

与えられた図形の面積から、$S(a)$ と $f(a)$ を結ぶ関係式を立式することが最初のステップである。曲線の囲む面積を定積分と三角形の面積を用いて正確に表す。得られた式と、$S(x)$ の定義式を微分して得られる $S'(x)$ と $f(x)$ の関係式を連立することで、$S(x)$ に関する微分方程式を導くことができる。

後半の極限については、導出された $f(x)$ の関係式から $2^n f(2^n x)$ の形を作り、階差数列の和の要領で一般項を求めることで、極限関数 $a(x)$ を直接計算する。

解法1

(1)

点 $(a, f(a))$ を $A$、点 $(2a, f(2a))$ を $B$ とする。直線 $OA$ の方程式は $y = \frac{f(a)}{a} x$、直線 $OB$ の方程式は $y = \frac{f(2a)}{2a} x$ である。

$x>0$ において $f(x)$ は正かつ単調減少（$0<x_1<x_2 \implies f(x_1)>f(x_2)>0$）であるから、$0 < a < 2a$ より $f(a) > f(2a) > 0$ が成り立つ。したがって、直線の傾きについて $\frac{f(a)}{a} > \frac{f(2a)}{2a}$ であり、第1象限において直線 $OA$ は直線 $OB$ の上方にある。

曲線 $y=f(x)$ と直線 $OA, OB$ で囲まれる部分の面積 $3S(a)$ は、区間 $0 \le x \le a$ では直線 $OA$ と $OB$ の間、区間 $a \le x \le 2a$ では曲線 $y=f(x)$ と直線 $OB$ の間の面積として計算できる。

$$ 3S(a) = \int_0^a \left( \frac{f(a)}{a} x - \frac{f(2a)}{2a} x \right) dx + \int_a^{2a} \left( f(x) - \frac{f(2a)}{2a} x \right) dx $$

定積分を計算する。

$$ \begin{aligned} 3S(a) &= \left[ \frac{1}{2} \left( \frac{f(a)}{a} - \frac{f(2a)}{2a} \right) x^2 \right]_0^a + \int_a^{2a} f(x) dx - \left[ \frac{f(2a)}{4a} x^2 \right]_a^{2a} \\ &= \frac{1}{2} a^2 \left( \frac{f(a)}{a} - \frac{f(2a)}{2a} \right) + S(a) - \frac{f(2a)}{4a} (4a^2 - a^2) \\ &= \frac{1}{2} a f(a) - \frac{1}{4} a f(2a) + S(a) - \frac{3}{4} a f(2a) \\ &= \frac{1}{2} a f(a) - a f(2a) + S(a) \end{aligned} $$

これを整理すると、

$$ 2S(a) = \frac{a}{2} f(a) - a f(2a) $$

$$ S(a) = \frac{a}{4} \{ f(a) - 2f(2a) \} $$

任意の $x>0$ について成り立つので、$x$ に書き換えて次を得る。

$$ f(x) - 2f(2x) = \frac{4}{x} S(x) \quad \cdots \text{①} $$

一方、$S(x) = \int_x^{2x} f(t) dt$ の両辺を $x$ で微分する（$f(x)$ は連続であるため微分可能）。

$$ S'(x) = f(2x) \cdot 2 - f(x) \cdot 1 = 2f(2x) - f(x) \quad \cdots \text{②} $$

②より $f(x) - 2f(2x) = -S'(x)$ であり、これを①に代入する。

$$ -S'(x) = \frac{4}{x} S(x) $$

$$ \frac{S'(x)}{S(x)} = -\frac{4}{x} $$

両辺を $x$ について積分する。

$$ \log |S(x)| = -4 \log |x| + C \quad (C \text{ は積分定数}) $$

$x>0$ であり、$f(x)>0$ より $S(x) = \int_x^{2x} f(t) dt > 0$ であるから、絶対値を外すことができる。

$$ S(x) = e^{-4 \log x + C} = e^C \cdot x^{-4} $$

$S(1) = 1$ より $e^C \cdot 1^{-4} = 1$ となり、$e^C = 1$ である。よって、$S(x) = x^{-4}$ となる。

さらに、①より

$$ f(x) - 2f(2x) = \frac{4}{x} \cdot x^{-4} = 4x^{-5} $$

となる。

(2)

(1) の結果より、任意の $t>0$ に対して以下が成り立つ。

$$ f(t) - 2f(2t) = 4 t^{-5} $$

$t = 2^k x$ （$k$ は $0$ 以上の整数）を代入する。

$$ f(2^k x) - 2f(2^{k+1} x) = 4 (2^k x)^{-5} = 4 \cdot 2^{-5k} x^{-5} $$

両辺に $2^k$ を掛ける。

$$ 2^k f(2^k x) - 2^{k+1} f(2^{k+1} x) = 4 \cdot 2^{-4k} x^{-5} $$

この式について、$k=0, 1, 2, \dots, n-1$ まで辺々を足し合わせる。左辺は隣り合う項が打ち消し合う。

$$ \sum_{k=0}^{n-1} \left\{ 2^k f(2^k x) - 2^{k+1} f(2^{k+1} x) \right\} = f(x) - 2^n f(2^n x) $$

右辺は初項 $4x^{-5}$、公比 $2^{-4} = \frac{1}{16}$ の等比数列の和となる。

$$ \begin{aligned} \sum_{k=0}^{n-1} 4 \cdot 2^{-4k} x^{-5} &= 4 x^{-5} \frac{1 - (16^{-1})^n}{1 - 16^{-1}} \\ &= 4 x^{-5} \frac{1 - 16^{-n}}{\frac{15}{16}} \\ &= \frac{64}{15} x^{-5} (1 - 16^{-n}) \end{aligned} $$

これらを等置して整理する。

$$ 2^n f(2^n x) = f(x) - \frac{64}{15} x^{-5} (1 - 16^{-n}) $$

$n \to \infty$ のとき $16^{-n} \to 0$ であるから、極限 $a(x)$ は次のように求まる。

$$ a(x) = \lim_{n\to\infty} 2^n f(2^n x) = f(x) - \frac{64}{15} x^{-5} $$

求める定積分は、(1) で求めた $S(x)$ を用いて以下のように計算できる。

$$ \begin{aligned} \int_x^{2x} a(t) dt &= \int_x^{2x} \left( f(t) - \frac{64}{15} t^{-5} \right) dt \\ &= \int_x^{2x} f(t) dt - \frac{64}{15} \int_x^{2x} t^{-5} dt \\ &= S(x) - \frac{64}{15} \left[ -\frac{1}{4} t^{-4} \right]_x^{2x} \\ &= x^{-4} + \frac{16}{15} \left( (2x)^{-4} - x^{-4} \right) \\ &= x^{-4} + \frac{16}{15} \left( \frac{1}{16} x^{-4} - x^{-4} \right) \\ &= x^{-4} + \frac{16}{15} \left( -\frac{15}{16} x^{-4} \right) \\ &= x^{-4} - x^{-4} \\ &= 0 \end{aligned} $$

(3)

(2) より、$a(x) = f(x) - \frac{64}{15} x^{-5}$ であり、任意の $x>0$ に対して $\int_x^{2x} a(t) dt = 0$ である。

前提条件より $f(x) > 0$ であるから、任意の自然数 $n$ と $x>0$ について $2^n f(2^n x) > 0$ であり、その極限である $a(x)$ は常に $a(x) \ge 0$ を満たす。また、$f(x)$ と $x^{-5}$ はともに $x>0$ で連続であるため、$a(x)$ も $x>0$ で連続な関数である。

「常に $a(t) \ge 0$ である連続関数」の定積分が $\int_x^{2x} a(t) dt = 0$ となるためには、積分区間 $[x, 2x]$ において常に $a(t) = 0$ でなければならない。これが任意の $x>0$ について成り立つので、すべての $t>0$ において $a(t) = 0$ である。

したがって、

$$ f(x) - \frac{64}{15} x^{-5} = 0 $$

$$ f(x) = \frac{64}{15 x^5} $$

解説

面積の条件式を定積分の式に翻訳し、それを微分して関数関係を導くという、微積分における典型的な解法プロセスの総合力を問う問題である。 (2) における極限の処理は、$\int_x^{2x} \lim_{n\to\infty} 2^n f(2^n t) dt$ の順序交換を無条件に行うと論理の飛躍と見なされる恐れがある。本解答のように階差数列の形から $a(x)$ を $f(x)$ の式として明示的に求め、それをそのまま積分して計算する手順を踏むことで、数学的厳密さを保ちつつ (3) へのスムーズな接続が可能になる。