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東京大学 1994年理系第1問解説

方針・初手

多項式が常に正であることや、単調増加であることを示すには、平方完成を用いて $A^2 + B^2 + C > 0$ の形を作るのが最も簡明である。（1）では $f(x)$ を直接平方完成して最小値が正であることを示す。（2）では $g'(x)$ を求めて同様に平方完成し、$g'(x) > 0$ から $g(x)$ が単調増加であることを示す。そのうえで、中間値の定理を用いて解の存在範囲を特定する。

解法1

(1)

$f(x)$ の高次の項から順に平方完成を行う。

$$ \begin{aligned} f(x) &= x^4 + x^3 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x + \frac{1}{24} \\ &= \left(x^2 + \frac{1}{2}x\right)^2 - \frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x + \frac{1}{24} \\ &= \left(x^2 + \frac{1}{2}x\right)^2 + \frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{6}x + \frac{1}{24} \\ &= \left(x^2 + \frac{1}{2}x\right)^2 + \frac{1}{4}\left(x^2 + \frac{2}{3}x\right) + \frac{1}{24} \\ &= \left(x^2 + \frac{1}{2}x\right)^2 + \frac{1}{4}\left(x + \frac{1}{3}\right)^2 - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{24} \\ &= \left(x^2 + \frac{1}{2}x\right)^2 + \frac{1}{4}\left(x + \frac{1}{3}\right)^2 - \frac{1}{36} + \frac{1}{24} \\ &= \left(x^2 + \frac{1}{2}x\right)^2 + \frac{1}{4}\left(x + \frac{1}{3}\right)^2 + \frac{1}{72} \end{aligned} $$

任意の実数 $x$ に対して $\left(x^2 + \frac{1}{2}x\right)^2 \geqq 0$ かつ $\frac{1}{4}\left(x + \frac{1}{3}\right)^2 \geqq 0$ であるから、以下の不等式が成り立つ。

$$ f(x) \geqq \frac{1}{72} > 0 $$

したがって、任意の実数 $x$ に対し、$f(x) > 0$ であることが示された。

(2)

$g(x)$ を微分して $g'(x)$ の符号を調べる。

$$ g'(x) = 5x^4 + 4x^3 + \frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{24} $$

（1）と同様に高次の項から平方完成を行う。

$$ \begin{aligned} g'(x) &= 5\left(x^4 + \frac{4}{5}x^3\right) + \frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{24} \\ &= 5\left(x^2 + \frac{2}{5}x\right)^2 - 5 \cdot \frac{4}{25}x^2 + \frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{24} \\ &= 5\left(x^2 + \frac{2}{5}x\right)^2 + \frac{7}{10}x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{24} \\ &= 5\left(x^2 + \frac{2}{5}x\right)^2 + \frac{7}{10}\left(x^2 + \frac{10}{21}x\right) + \frac{1}{24} \\ &= 5\left(x^2 + \frac{2}{5}x\right)^2 + \frac{7}{10}\left(x + \frac{5}{21}\right)^2 - \frac{7}{10} \cdot \frac{25}{441} + \frac{1}{24} \\ &= 5\left(x^2 + \frac{2}{5}x\right)^2 + \frac{7}{10}\left(x + \frac{5}{21}\right)^2 - \frac{5}{126} + \frac{1}{24} \\ &= 5\left(x^2 + \frac{2}{5}x\right)^2 + \frac{7}{10}\left(x + \frac{5}{21}\right)^2 + \frac{1}{504} \end{aligned} $$

任意の実数 $x$ について各平方項は $0$ 以上であるため、$g'(x) \geqq \frac{1}{504} > 0$ となる。したがって、関数 $g(x)$ はすべての実数全体で単調に増加する。

ここで、$x \to \infty$ のとき $g(x) \to \infty$、$x \to -\infty$ のとき $g(x) \to -\infty$ であることと、$g(x)$ が連続かつ単調増加であることから、方程式 $g(x) = 0$ はただひとつの実数解をもつ。

次に、$x = 0$ と $x = -1$ のときの $g(x)$ の値を調べる。

$$ g(0) = \frac{1}{120} > 0 $$

$$ \begin{aligned} g(-1) &= -1 + 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{6} - \frac{1}{24} + \frac{1}{120} \\ &= \frac{-60 + 20 - 5 + 1}{120} \\ &= -\frac{44}{120} < 0 \end{aligned} $$

関数 $g(x)$ は連続であり、$g(-1) < 0$ かつ $g(0) > 0$ を満たすため、中間値の定理により、$g(x) = 0$ を満たす実数解 $\alpha$ は $-1 < \alpha < 0$ の範囲に存在する。

以上より、方程式 $g(x) = 0$ はただひとつの実数解 $\alpha$ をもち、$-1 < \alpha < 0$ となることが示された。

解説

本問の $f(x)$ と $g(x)$ は一見すると複雑な多項式であるが、高次から順に平方完成を繰り返すことで、常に正の値をとることが鮮やかに示せる。多項式が $0$ 以上であることを示す手法として、平方完成は微分の増減表を書くよりも汎用的かつ強力に機能する場合がある。

また、本問の式には美しい背景が隠されている。自然対数の底 $e$ のテイラー展開（マクローリン展開）は $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$ と表されるが、この展開式の係数順序を逆にしたような多項式が本問のテーマとなっている。

さらに、$g(x)$ と $f(x)$ の間には $g(x) = x f(x) + \frac{1}{120}$ という恒等式が成り立つ。これを利用すると、$g(0) = \frac{1}{120} > 0$ と $g(-1) = -f(-1) + \frac{1}{120} < 0$ （（1）より $f(-1) > 0$ であるため）が即座に導け、解の存在範囲を調べる過程の見通しが良くなる。