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東京大学 1999年理系第6問解説

方針・初手

まずは左辺の定積分を正確に計算する。被積分関数 $e^x \sin^2 x$ は、半角の公式を用いて次数を下げることで、$e^x$ と $e^x \cos 2x$ の積分に帰着できる。後者は部分積分を2回繰り返す典型的なパターンで求められる。

積分値を求めた後、その値が $8$ より大きいことを示す帰着条件を導く。与えられた $e = 2.71\cdots$ と $\pi = 3.14\cdots$ の近似値を用いて、不等式を評価する工夫が問われる問題である。

解法1

求める定積分を $I$ とする。

$$ I = \int_0^\pi e^x \sin^2 x dx $$

半角の公式 $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ を用いて変形する。

$$ \begin{aligned} I &= \int_0^\pi e^x \left( \frac{1 - \cos 2x}{2} \right) dx \\ &= \frac{1}{2} \int_0^\pi e^x dx - \frac{1}{2} \int_0^\pi e^x \cos 2x dx \end{aligned} $$

第1項の積分は以下のようになる。

$$ \frac{1}{2} \int_0^\pi e^x dx = \frac{1}{2} \left[ e^x \right]_0^\pi = \frac{e^\pi - 1}{2} $$

第2項の積分 $J = \int_0^\pi e^x \cos 2x dx$ を、部分積分を2回用いて求める。

$$ \begin{aligned} J &= \left[ e^x \cos 2x \right]_0^\pi - \int_0^\pi e^x (-2 \sin 2x) dx \\ &= (e^\pi \cdot 1 - 1 \cdot 1) + 2 \int_0^\pi e^x \sin 2x dx \\ &= e^\pi - 1 + 2 \left( \left[ e^x \sin 2x \right]_0^\pi - \int_0^\pi e^x (2 \cos 2x) dx \right) \\ &= e^\pi - 1 + 2 (0 - 2J) \\ &= e^\pi - 1 - 4J \end{aligned} $$

これを $J$ について解くと、

$$ 5J = e^\pi - 1 \iff J = \frac{e^\pi - 1}{5} $$

したがって、定積分 $I$ の値は次のように求まる。

$$ \begin{aligned} I &= \frac{e^\pi - 1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{e^\pi - 1}{5} \\ &= (e^\pi - 1) \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{10} \right) \\ &= \frac{2(e^\pi - 1)}{5} \end{aligned} $$

これが $8$ より大きいことを示すため、次の不等式が成り立つことを言えばよい。

$$ \frac{2(e^\pi - 1)}{5} > 8 \iff e^\pi - 1 > 20 \iff e^\pi > 21 $$

問題の条件より $e = 2.71\cdots$、$\pi = 3.14\cdots$ であるから、$e > 2.7$ かつ $\pi > 3.1$ が成り立つ。これを用いて $e^\pi$ を下から評価する。

$$ e^\pi > 2.7^{3.1} = 2.7^3 \times 2.7^{0.1} $$

ここで、$2.7^3 = 19.683$ である。次に、$2.7^{0.1} > 1.1$ であること、すなわち $2.7 > 1.1^{10}$ を示すために、$1.1^{10}$ を計算による丸めを利用して上から評価する。

$$ 1.1^2 = 1.21 $$

$$ 1.1^4 = 1.21^2 = 1.4641 < 1.47 $$

$$ 1.1^8 = (1.1^4)^2 < 1.47^2 = 2.1609 < 2.17 $$

$$ 1.1^{10} = 1.1^8 \times 1.1^2 < 2.17 \times 1.21 = 2.6257 $$

よって、$1.1^{10} < 2.7$ が成り立つため、両辺の正の $10$ 乗根をとることで $1.1 < 2.7^{0.1}$ が得られる。これらを掛け合わせることで、以下の評価が成立する。

$$ \begin{aligned} e^\pi &> 2.7^{3.1} \\ &= 2.7^3 \times 2.7^{0.1} \\ &> 19.683 \times 1.1 \\ &= 21.6513 \\ &> 21 \end{aligned} $$

$e^\pi > 21$ が示されたので、両辺から $1$ を引いて $\frac{2}{5}$ を掛ける。

$$ \begin{aligned} e^\pi - 1 &> 20 \\ \frac{2(e^\pi - 1)}{5} &> \frac{2 \times 20}{5} = 8 \end{aligned} $$

以上より、$\int_0^\pi e^x \sin^2 x dx > 8$ であることが示された。

解説

前半は定積分の基本的な計算問題である。指数関数と三角関数の積の積分は、部分積分を2回行ってもとの積分を出現させ、方程式として解く手法が定石である。

後半は近似値を用いた不等式の評価であり、ここが本問の最大の山場である。$e > 2.7$ という切り捨てだけでは $2.7^3 = 19.683$ となり目標の $21$ に届かない。そこで $\pi > 3.1$ まで用いて $2.7^{3.1}$ を評価する必要がある。小数乗である $2.7^{0.1}$ の大きさを掴むために、$1.1^{10}$ が $2.7$ より小さいことを手計算で示す発想が求められる。適宜切り上げを行いながら掛け算していくことで、簡潔かつ正確に評価を完了できる。