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東京大学 2001年理系第2問解説

方針・初手

定積分を含んだ関数方程式の問題である。積分区間が $0$ から $2\pi$ という定数であるため、被積分関数内の $\sin(x+y)$ や $\cos(x-y)$ を加法定理で展開し、$x$ の関数を積分の外に出す。残った定積分の部分を定数とおき、$f(x)$ の形を決定して、おいた定数に関する連立方程式を導く。

解法1

与えられた等式の右辺の被積分関数に加法定理を用いると、

$$ \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $$

$$ \cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y $$

となるので、これらを元の等式に代入して整理する。

$$ \begin{aligned} f(x) &= \frac{a}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} (\sin x \cos y + \cos x \sin y) f(y) dy \\ &\quad + \frac{b}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} (\cos x \cos y + \sin x \sin y) f(y) dy + \sin x + \cos x \\ &= \frac{a}{2\pi} \left( \sin x \int_{0}^{2\pi} f(y) \cos y dy + \cos x \int_{0}^{2\pi} f(y) \sin y dy \right) \\ &\quad + \frac{b}{2\pi} \left( \cos x \int_{0}^{2\pi} f(y) \cos y dy + \sin x \int_{0}^{2\pi} f(y) \sin y dy \right) + \sin x + \cos x \end{aligned} $$

ここで、$x$ に無関係な定積分の部分を次のように定数 $A, B$ とおく。

$$ A = \int_{0}^{2\pi} f(y) \cos y dy, \quad B = \int_{0}^{2\pi} f(y) \sin y dy $$

これらを用いて $f(x)$ を表すと、

$$ \begin{aligned} f(x) &= \frac{a}{2\pi} (A \sin x + B \cos x) + \frac{b}{2\pi} (A \cos x + B \sin x) + \sin x + \cos x \\ &= \left( \frac{aA + bB}{2\pi} + 1 \right) \sin x + \left( \frac{aB + bA}{2\pi} + 1 \right) \cos x \end{aligned} $$

さらに、$\sin x$ と $\cos x$ の係数を次のように定数 $P, Q$ とおく。

$$ P = \frac{aA + bB}{2\pi} + 1 $$

$$ Q = \frac{aB + bA}{2\pi} + 1 $$

すると、$f(x)$ は次のように簡潔に表される。

$$ f(x) = P \sin x + Q \cos x $$

この $f(x)$ を $A, B$ の定義式に代入して、積分を計算する。

$$ \begin{aligned} A &= \int_{0}^{2\pi} (P \sin y + Q \cos y) \cos y dy \\ &= P \int_{0}^{2\pi} \sin y \cos y dy + Q \int_{0}^{2\pi} \cos^2 y dy \\ &= P \left[ \frac{1}{2} \sin^2 y \right]_{0}^{2\pi} + Q \int_{0}^{2\pi} \frac{1 + \cos 2y}{2} dy \\ &= P \cdot 0 + Q \left[ \frac{y}{2} + \frac{1}{4} \sin 2y \right]_{0}^{2\pi} \\ &= Q \pi \end{aligned} $$

同様に $B$ を計算する。

$$ \begin{aligned} B &= \int_{0}^{2\pi} (P \sin y + Q \cos y) \sin y dy \\ &= P \int_{0}^{2\pi} \sin^2 y dy + Q \int_{0}^{2\pi} \sin y \cos y dy \\ &= P \int_{0}^{2\pi} \frac{1 - \cos 2y}{2} dy + Q \cdot 0 \\ &= P \left[ \frac{y}{2} - \frac{1}{4} \sin 2y \right]_{0}^{2\pi} \\ &= P \pi \end{aligned} $$

これら $A = Q \pi, B = P \pi$ を $P, Q$ の定義式に代入する。

$$ P = \frac{a(Q \pi) + b(P \pi)}{2\pi} + 1 = \frac{aQ + bP}{2} + 1 $$

$$ Q = \frac{a(P \pi) + b(Q \pi)}{2\pi} + 1 = \frac{aP + bQ}{2} + 1 $$

両辺を $2$ 倍して整理すると、$P, Q$ についての連立1次方程式が得られる。

$$ (2 - b)P - aQ = 2 \quad \cdots \text{①} $$

$$ -aP + (2 - b)Q = 2 \quad \cdots \text{②} $$

関数 $f(x)$ がただ一つ定まるための条件は、この連立方程式を満たす実数 $(P, Q)$ の組がただ一つ存在することである。すなわち、左辺の係数行列の行列式が $0$ でないことであるから、

$$ (2 - b)^2 - (-a) \cdot (-a) \neq 0 $$

$$ (2 - b)^2 - a^2 \neq 0 $$

$$ (2 - b - a)(2 - b + a) \neq 0 $$

したがって、求める条件は $a+b \neq 2$ かつ $a-b \neq -2$ である。

次に、この条件のもとで $f(x)$ を決定する。①から②を引くと、

$$ (2 - b + a)P - (2 - b + a)Q = 0 $$

$$ (a - b + 2)(P - Q) = 0 $$

条件より $a - b + 2 \neq 0$ であるから、$P - Q = 0$ すなわち $P = Q$ となる。これを①に代入すると、

$$ (2 - b - a)P = 2 $$

条件より $2 - a - b \neq 0$ であるから、

$$ P = \frac{2}{2 - a - b} $$

したがって、$Q = \frac{2}{2 - a - b}$ であり、求める関数 $f(x)$ は次のようになる。

$$ f(x) = \frac{2}{2 - a - b} (\sin x + \cos x) $$

解説

定積分を含む関数方程式のうち、積分区間が定数であるものは、定積分の部分を定数とおくのが定石である。本問では被積分関数の中に $x$ が含まれているため、そのままでは積分値が定数にならない。そこで、加法定理を用いて $x$ と $y$ を分離し、$x$ の関数を積分の外にくくり出すことが第一歩となる。連立方程式がただ一つの解をもつ条件は、行列式の非零条件や、直線の傾きの一致・不一致に着目すると簡潔に処理できる。