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東京大学 2014年理系第3問解説

方針・初手

2つの放物線の方程式から $y$ を消去し、$x$ についての2次方程式を作成する。共有点をもつ条件は、この2次方程式が実数解をもつこと（判別式 $D \geqq 0$ となること）である。共有点の座標から作られる式は、解と係数の関係を用いて基本対称式で表すことで $u$ の式に直すことができる。絶対値の扱いに注意する。最後の定積分は、ルートの中身を平方完成して平行移動（置換積分）を行い、奇関数の性質や円の面積などを利用して計算を効率化する。

解法1

(1)

$C_1: y = -x^2 + 1$ と $C_2: y = (x - u)^2 + u$ の方程式から $y$ を消去すると、

$$ -x^2 + 1 = (x - u)^2 + u $$

展開して整理すると、

$$ 2x^2 - 2ux + u^2 + u - 1 = 0 \quad \cdots ① $$

$C_1$ と $C_2$ が共有点をもつ条件は、この $x$ についての2次方程式 ① が実数解をもつことである。方程式 ① の判別式を $D$ とすると、$D \geqq 0$ となればよい。

$$ \frac{D}{4} = (-u)^2 - 2(u^2 + u - 1) = -u^2 - 2u + 2 \geqq 0 $$

両辺に $-1$ を掛けて整理すると、

$$ u^2 + 2u - 2 \leqq 0 $$

これを解くと、

$$ -1 - \sqrt{3} \leqq u \leqq -1 + \sqrt{3} $$

これが $a \leqq u \leqq b$ の形であるから、

$$ a = -1 - \sqrt{3}, \quad b = -1 + \sqrt{3} $$

(2)

共有点の $x$ 座標 $x_1, x_2$ は2次方程式 ① の実数解である。解と係数の関係より、

$$ x_1 + x_2 = u $$

$$ x_1 x_2 = \frac{u^2 + u - 1}{2} $$

また、$y_1 = -x_1^2 + 1, y_2 = -x_2^2 + 1$ を代入して式を変形する。

$$ x_1 y_2 - x_2 y_1 = x_1(-x_2^2 + 1) - x_2(-x_1^2 + 1) $$

$$ = -x_1 x_2^2 + x_1 + x_1^2 x_2 - x_2 = x_1 x_2(x_1 - x_2) + (x_1 - x_2) = (x_1 x_2 + 1)(x_1 - x_2) $$

よって、求める式は次のように変形できる。

$$ 2|x_1 y_2 - x_2 y_1| = 2|x_1 x_2 + 1||x_1 - x_2| $$

ここで、$x_1 x_2 + 1$ を計算し、その符号を調べる。

$$ x_1 x_2 + 1 = \frac{u^2 + u - 1}{2} + 1 = \frac{u^2 + u + 1}{2} = \frac{1}{2} \left( u + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{8} > 0 $$

常に正であるため、絶対値をそのまま外すことができる。

$$ |x_1 x_2 + 1| = \frac{u^2 + u + 1}{2} $$

次に、$(x_1 - x_2)^2$ を対称式を用いて計算する。

$$ (x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 = u^2 - 4 \cdot \frac{u^2 + u - 1}{2} = -u^2 - 2u + 2 $$

$a \leqq u \leqq b$ の範囲において $-u^2 - 2u + 2 \geqq 0$ であるため、両辺の平方根をとると、

$$ |x_1 - x_2| = \sqrt{-u^2 - 2u + 2} $$

以上より、求める式は、

$$ 2|x_1 y_2 - x_2 y_1| = 2 \cdot \frac{u^2 + u + 1}{2} \cdot \sqrt{-u^2 - 2u + 2} = (u^2 + u + 1)\sqrt{-u^2 - 2u + 2} $$

(3)

（2）の結果より、$f(u) = (u^2 + u + 1)\sqrt{-u^2 - 2u + 2}$ である。根号の中身を平方完成すると $-u^2 - 2u + 2 = -(u + 1)^2 + 3$ となるため、$t = u + 1$ とおく。 $u$ と $t$ の積分区間の対応は以下の通りである。

$$ u: -1-\sqrt{3} \to -1+\sqrt{3} $$

$$ t: -\sqrt{3} \to \sqrt{3} $$

また、$du = dt$ であり、$u^2 + u + 1$ を $t$ で表すと、

$$ u^2 + u + 1 = (t - 1)^2 + (t - 1) + 1 = t^2 - t + 1 $$

したがって、定積分 $I$ は次のように書き換えられる。

$$ I = \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (t^2 - t + 1)\sqrt{3 - t^2} dt = \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} t^2\sqrt{3 - t^2} dt - \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} t\sqrt{3 - t^2} dt + \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \sqrt{3 - t^2} dt $$

ここで、被積分関数について偶関数と奇関数の性質を利用する。 $t\sqrt{3 - t^2}$ は奇関数であるため、積分区間が原点対称な定積分は $0$ となる。

$$ \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} t\sqrt{3 - t^2} dt = 0 $$

$\sqrt{3 - t^2}$ の積分は、半径 $\sqrt{3}$ の円 $x^2 + y^2 = 3$ の面積の半分（半円の面積）に相当する。

$$ \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \sqrt{3 - t^2} dt = \frac{1}{2} \cdot \pi(\sqrt{3})^2 = \frac{3}{2}\pi $$

残る $t^2\sqrt{3 - t^2}$ の積分は、$t = \sqrt{3}\sin\theta \quad \left(-\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}\right)$ とおいて置換積分を行う。 $dt = \sqrt{3}\cos\theta d\theta$ であり、$t: -\sqrt{3} \to \sqrt{3}$ のとき $\theta: -\frac{\pi}{2} \to \frac{\pi}{2}$ である。

$$ \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} t^2\sqrt{3 - t^2} dt = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 3\sin^2\theta \cdot \sqrt{3 - 3\sin^2\theta} \cdot \sqrt{3}\cos\theta d\theta $$

$$ = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 3\sin^2\theta \cdot \sqrt{3}\cos\theta \cdot \sqrt{3}\cos\theta d\theta = 9\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2\theta\cos^2\theta d\theta $$

ここで、2倍角の公式 $\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ より $\sin^2\theta\cos^2\theta = \frac{1}{4}\sin^2 2\theta$ と変形し、さらに半角の公式を用いる。

$$ 9\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2\theta\cos^2\theta d\theta = \frac{9}{4}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 2\theta d\theta = \frac{9}{4}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos4\theta}{2} d\theta $$

$$ = \frac{9}{8} \left[ \theta - \frac{1}{4}\sin4\theta \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{9}{8} \left( \frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) \right) = \frac{9}{8}\pi $$

以上をまとめると、

$$ I = \frac{9}{8}\pi - 0 + \frac{3}{2}\pi = \frac{21}{8}\pi $$

解説

（1）は基本的な2次方程式の判別式の問題である。（2）は解と係数の関係および対称式・交代式の変形がテーマである。求める式に絶対値がついているため、中身の正負を判定したり、$|x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2}$ のように2乗の平方根の形で処理する点がポイントとなる。

（3）はルートの中に2次式が含まれる無理関数の定積分である。そのままでは積分が困難なため、平方完成して変数を置換し、積分区間を原点対称にすることで計算の見通しを良くする。その後は、奇関数の定積分が $0$ になる性質や、円の面積を幾何学的に利用して計算量を減らすのが定石である。残った部分は三角関数の置換積分（$t=a\sin\theta$ の形）を丁寧に実行すればよい。