トップ› 東京大学› 2016年› 理系第4問

東京大学 2016年理系第4問解説

方針・初手

3点 $A(1), B(z), C(z^2)$ が三角形をなす条件（同一直線上にない条件）と、それぞれの内角が鋭角になる条件を立式する。

複素数平面上の異なる3点 $P(\alpha), Q(\beta), R(\gamma)$ について、線分 $PQ$ と $PR$ のなす角を $\theta$ とすると、偏角の性質から $\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ （$r > 0$）と表せる。 $\angle P$ が鋭角（$0 < |\theta| < \frac{\pi}{2}$）であることは、「$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ の実部が正であり、かつ虚部が $0$ でない（実数でない）」ことと同値である。これを用いて各頂点における条件を処理する。

解法1

$z = x + iy$ （$x, y$ は実数）とおく。

まず、3点 $A(1), B(z), C(z^2)$ が三角形をなす（同一直線上にない）条件を求める。これは $\frac{z^2 - 1}{z - 1}$ が実数でないことと同値である。 $z \neq 1$ に注意して式を整理すると、

$$ \frac{z^2 - 1}{z - 1} = z + 1 = (x + 1) + iy $$

これが実数でないための条件は、虚部が $0$ でないことであるから、

$$ y \neq 0 $$

次に、$\triangle ABC$ が鋭角三角形である条件は、$\angle A, \angle B, \angle C$ がすべて鋭角となることである。上記の方針より、各頂点に対応する複素数の分数の実部が正になればよい。

(i)

$\angle A$ が鋭角となる条件 $\text{Re}\left( \frac{z^2 - 1}{z - 1} \right) > 0$ であればよい。

$$ \text{Re}(z + 1) = x + 1 > 0 $$

よって、

$$ x > -1 $$

(ii)

$\angle B$ が鋭角となる条件 $\text{Re}\left( \frac{1 - z}{z^2 - z} \right) > 0$ であればよい。

$$ \frac{1 - z}{z^2 - z} = \frac{1 - z}{-z(1 - z)} = -\frac{1}{z} $$

ここで、$\text{Re}\left(-\frac{1}{z}\right) > 0$ は $\text{Re}(-z) > 0$ と同値であるため、計算が容易な $\frac{z^2 - z}{1 - z}$ を用いて考える。（$z \neq 1$ であるため分母は $0$ にならない）

$$ \frac{z^2 - z}{1 - z} = \frac{-z(1 - z)}{1 - z} = -z = -x - iy $$

実部が正であるから、

$$ -x > 0 $$

よって、

$$ x < 0 $$

(iii)

$\angle C$ が鋭角となる条件 $\text{Re}\left( \frac{1 - z^2}{z - z^2} \right) > 0$ であればよい。

$$ \frac{1 - z^2}{z - z^2} = \frac{(1 - z)(1 + z)}{z(1 - z)} = \frac{1 + z}{z} = \frac{1 + x + iy}{x + iy} $$

分母を実数化して整理する。

$$ \frac{(1 + x + iy)(x - iy)}{(x + iy)(x - iy)} = \frac{x(1 + x) + y^2 + i(-y(1 + x) + xy)}{x^2 + y^2} = \frac{x^2 + x + y^2 - iy}{x^2 + y^2} $$

実部が正であるから、

$$ \frac{x^2 + x + y^2}{x^2 + y^2} > 0 $$

$y \neq 0$ より分母の $x^2 + y^2$ は正であるため、分子が正であればよい。

$$ x^2 + x + y^2 > 0 $$

平方完成すると、

$$ \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + y^2 > \frac{1}{4} $$

これは、複素数平面上において中心 $-\frac{1}{2}$、半径 $\frac{1}{2}$ の円の外部を表す。

以上の（i）,（ii）,（iii）および $y \neq 0$ の共通範囲が求める $z$ の範囲である。

解説

複素数平面における三角形の形状を問う典型問題である。ベクトルの内積を用いて $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} > 0$ 等から立式することも可能だが、内積は複素数の積を用いて $\text{Re}((z-1)\overline{(z^2-1)})$ と表されるため、計算量は本解法とほぼ変わらない。偏角に着目して $\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ の実部の正負を調べる方法は、幾何的な条件を代数的な不等式に素早く変換できるため非常に有効である。また、3点が同一直線上にない（三角形をなす）という前提条件を忘れずに処理することが重要である。