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東京大学 2021年理系第2問解説

方針・初手

（1）は、与えられた $f(0), f(1), f(i)$ の値から $a, b, c$ についての連立 1 次方程式を立てて解く。2 次以下の整式が 3 点の値で一意に定まることを用いれば、補間の形で直接係数を求めてもよい。

（2）は、（1）の結果を用いて $f(2)$ を $\alpha, \beta, \gamma$ の式で表す。$\alpha, \beta, \gamma$ が独立に $1$ から $2$ まで動くときの複素数 $f(2)$ の軌跡を、ベクトルの和として捉えて領域を構成する。

解法1

(1)

$f(z) = az^2 + bz + c$ に対して、与えられた条件を代入すると以下の連立方程式が得られる。

$$ \begin{cases} c = \alpha & \cdots \textbf{(i)} \\ a + b + c = \beta & \cdots \textbf{(ii)} \\ -a + bi + c = \gamma & \cdots \textbf{(iii)} \end{cases} $$

式（i）を（ii）, （iii）に代入して整理すると

$$ \begin{cases} a + b = \beta - \alpha & \cdots \textbf{(ii)'} \\ -a + bi = \gamma - \alpha & \cdots \textbf{(iii)'} \end{cases} $$

式（ii'）と（iii'）の辺々を足し合わせると

$$ (1+i)b = \beta + \gamma - 2\alpha $$

両辺に $\frac{1-i}{2}$ を掛けて $b$ を求める。

$$ b = \frac{(1-i)(\beta + \gamma - 2\alpha)}{2} = \frac{-2(1-i)\alpha + (1-i)\beta + (1-i)\gamma}{2} $$

次に、(\textbf{ii})' より $a = \beta - \alpha - b$ であるから、求めた $b$ を代入する。

$$ a = \beta - \alpha - \frac{(1-i)(\beta + \gamma - 2\alpha)}{2} $$

$$ = \frac{2\beta - 2\alpha - (1-i)\beta - (1-i)\gamma + 2(1-i)\alpha}{2} $$

$$ = \frac{-2i\alpha + (1+i)\beta - (1-i)\gamma}{2} $$

(2)

（1）の結果を用いて $f(2) = 4a + 2b + c$ を計算する。

$$ f(2) = 4 \cdot \frac{-2i\alpha + (1+i)\beta - (1-i)\gamma}{2} + 2 \cdot \frac{-2(1-i)\alpha + (1-i)\beta + (1-i)\gamma}{2} + \alpha $$

$$ = -4i\alpha + 2(1+i)\beta - 2(1-i)\gamma - 2(1-i)\alpha + (1-i)\beta + (1-i)\gamma + \alpha $$

$\alpha, \beta, \gamma$ について整理すると

$$ f(2) = (-4i - 2 + 2i + 1)\alpha + (2 + 2i + 1 - i)\beta + (-2 + 2i + 1 - i)\gamma $$

$$ = (-1 - 2i)\alpha + (3 + i)\beta + (-1 + i)\gamma $$

ここで、$w = f(2)$ とおく。$\alpha, \beta, \gamma$ は独立に $1 \leqq \alpha \leqq 2$、$1 \leqq \beta \leqq 2$、$1 \leqq \gamma \leqq 2$ を動く。基準点として $\alpha = \beta = \gamma = 1$ のときの $w$ の値を $w_0$ とすると、

$$ w_0 = (-1-2i) + (3+i) + (-1+i) = 1 $$

$s = \alpha - 1, t = \beta - 1, u = \gamma - 1$ とおくと、$s, t, u$ はそれぞれ独立に $0$ から $1$ まで動き、$w$ は次のように表せる。

$$ w = 1 + s(-1-2i) + t(3+i) + u(-1+i) $$

これは、点 $1$ を始点として、3つのベクトルを表す複素数 $\vec{p} = -1-2i, \vec{q} = 3+i, \vec{r} = -1+i$ をそれぞれ $0$ 倍から $1$ 倍して加えた点の集合である。領域は以下の手順で図示できる。

（ア）まず、点 $1$ に $t\vec{q}$ ($0 \leqq t \leqq 1$) を加えた領域は、点 $1$ と点 $1+(3+i) = 4+i$ を結ぶ線分である。

（イ）次に、この線分に $u\vec{r}$ ($0 \leqq u \leqq 1$) を加えた領域は、点 $1, 4+i, (4+i)+(-1+i)=3+2i, 1+(-1+i)=i$ を頂点とする平行四辺形の周および内部である。

（ウ）最後に、この平行四辺形に $s\vec{p}$ ($0 \leqq s \leqq 1$) を加えた領域は、上記の平行四辺形をベクトル $\vec{p} = -1-2i$ の方向に平行移動して通過する領域となる。移動後の平行四辺形の頂点は、それぞれ元の頂点に $-1-2i$ を加えた以下の点になる。

$$ 1 + (-1-2i) = -2i $$

$$ (4+i) + (-1-2i) = 3-i $$

$$ (3+2i) + (-1-2i) = 2 $$

$$ i + (-1-2i) = -1-i $$

移動前後の計8つの点 $1, 4+i, 3+2i, i, -2i, 3-i, 2, -1-i$ のうち、凸包をなす外側の6点を反時計回りに結ぶと、頂点が $-2i, 3-i, 4+i, 3+2i, i, -1-i$ の六角形となる（点 $1$ と $2$ はこの六角形の内部に含まれる）。

よって、求める領域はこの六角形の周および内部である。

解法2

(1)

$f(z)$ は高々2次の整式であり、$z=0, 1, i$ での取る値が指定されているため、以下の恒等式（ラグランジュの補間公式）が成り立つ。

$$ f(z) = \alpha \frac{(z-1)(z-i)}{(0-1)(0-i)} + \beta \frac{(z-0)(z-i)}{(1-0)(1-i)} + \gamma \frac{(z-0)(z-1)}{(i-0)(i-1)} $$

分母を計算して整理する。

$$ f(z) = \alpha \frac{z^2 - (1+i)z + i}{i} + \beta \frac{z^2 - iz}{1-i} + \gamma \frac{z^2 - z}{-1-i} $$

$$ = -i\alpha (z^2 - (1+i)z + i) + \frac{1+i}{2}\beta (z^2 - iz) + \frac{-1+i}{2}\gamma (z^2 - z) $$

$f(z) = az^2 + bz + c$ と係数を比較する。 $z^2$ の係数より

$$ a = -i\alpha + \frac{1+i}{2}\beta + \frac{-1+i}{2}\gamma = \frac{-2i\alpha + (1+i)\beta - (1-i)\gamma}{2} $$

$z$ の係数より

$$ b = i(1+i)\alpha - i\frac{1+i}{2}\beta - \frac{-1+i}{2}\gamma = (-1+i)\alpha + \frac{1-i}{2}\beta + \frac{1-i}{2}\gamma = \frac{-2(1-i)\alpha + (1-i)\beta + (1-i)\gamma}{2} $$

定数項より

$$ c = -i\alpha \cdot i = \alpha $$