大阪大学 1961年 文系 第5問 解説

方針・初手

曲線の式を微分して、点 $P$ における法線の方程式を立てる。法線の $y$ 切片を $k$ として、$k$ を $a$ を用いた式で表し、$\lim_{a \to 0} k$ を極限の基本公式 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を用いて計算する。

解法1

$f(x) = 1 + 5x^2 + \cos^2 2x$ とおく。これを微分すると、

$$ \begin{aligned} f'(x) &= 10x + 2\cos 2x \cdot (-\sin 2x) \cdot 2 \\ &= 10x - 4\sin 2x \cos 2x \\ &= 10x - 2\sin 4x \end{aligned} $$

となる。

$a \to 0$ の極限を考えるため、$a$ は $0$ ではない十分小さな実数としてよい。このとき $\lim_{a \to 0} \frac{\sin 4a}{4a} = 1$ より $f'(a) \neq 0$ となるため、点 $P(a, f(a))$ における法線は $y$ 軸と平行にならない。

点 $P$ における法線の方程式は、

$$ y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)}(x - a) $$

と表される。この直線が $y$ 軸と交わる点 $Q$ の $y$ 座標 $k$ は、上式に $x = 0$ を代入して、

$$ k = \frac{a}{f'(a)} + f(a) $$

となる。ここで右辺の各項の $a \to 0$ における極限を計算する。 第1項について、

$$ \begin{aligned} \lim_{a \to 0} \frac{a}{f'(a)} &= \lim_{a \to 0} \frac{a}{10a - 2\sin 4a} \\ &= \lim_{a \to 0} \frac{1}{10 - 2 \cdot \frac{\sin 4a}{a}} \\ &= \lim_{a \to 0} \frac{1}{10 - 8 \cdot \frac{\sin 4a}{4a}} \\ &= \frac{1}{10 - 8 \cdot 1} \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned} $$

第2項について、点 $P$ の $y$ 座標 $b$ に等しく $b = f(a)$ であるから、

$$ \begin{aligned} \lim_{a \to 0} f(a) &= \lim_{a \to 0} (1 + 5a^2 + \cos^2 2a) \\ &= 1 + 0 + 1 \\ &= 2 \end{aligned} $$

したがって、求める極限は、

$$ \begin{aligned} \lim_{a \to 0} k &= \lim_{a \to 0} \left( \frac{a}{f'(a)} + f(a) \right) \\ &= \frac{1}{2} + 2 \\ &= \frac{5}{2} \end{aligned} $$

解説

微分の計算、法線の方程式の立式、そして三角関数を含む極限の計算を組み合わせた標準的な問題である。

• $\cos^2 2x$ の微分の際に合成関数の微分法を正確に用いること。
• 法線と $y$ 軸の交点の座標を式で表したあと、分母分子を $a$ で割ることで $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ の形を作り出すのが極限計算の定石である。

答え

$$ \frac{5}{2} $$