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北海道大学 1965年文系第9問解説

方針・初手

(1) 接点の $x$ 座標を $t$ として接線の方程式を立て、それが点 $(a, 0)$ を通る条件から、接点の座標に関する方程式を導きます。そこから2つの接点を通る直線の方程式を求めます。 (2) 放物線と2本の接線で囲まれた面積を求めるため、接点の $x$ 座標を $\alpha, \beta$ とおき、定積分を計算します。積分の計算では $(x-\alpha)^2$ などの形を作ると計算が楽になります。

解法1

(1)

放物線 (A): $y = x^2 + 1$ 上の点 $(t, t^2+1)$ における接線の方程式を求める。 $y' = 2x$ より、接線の傾きは $2t$ となるから、接線の方程式は

$$ y - (t^2 + 1) = 2t(x - t) $$

すなわち

$$ y = 2tx - t^2 + 1 $$

これが点 $(a, 0)$ を通るので、

$$ 0 = 2at - t^2 + 1 $$

$$ t^2 - 2at - 1 = 0 \cdots \cdots \text{①} $$

方程式①の判別式を $D$ とすると、$\frac{D}{4} = a^2 - (-1) = a^2 + 1 > 0$ であるから、①は任意の $a$ に対して異なる2つの実数解をもつ。それらを $\alpha, \beta$ とすると、これが2つの接点の $x$ 座標である。 $\alpha, \beta$ は①の解であるから、

$$ \begin{cases} \alpha^2 = 2a\alpha + 1 \\ \beta^2 = 2a\beta + 1 \end{cases} $$

が成り立つ。接点の $y$ 座標はそれぞれ $\alpha^2+1, \beta^2+1$ であるが、上の関係式を用いると、

$$ \begin{cases} \alpha^2 + 1 = 2a\alpha + 2 \\ \beta^2 + 1 = 2a\beta + 2 \end{cases} $$

となる。これは、2つの接点 $(\alpha, \alpha^2+1), (\beta, \beta^2+1)$ が、ともに直線 $y = 2ax + 2$ 上にあることを示している。したがって、2つの接点を結ぶ直線の方程式は、

$$ y = 2ax + 2 $$

である。これを $a$ について整理すると、

$$ 2xa - (y - 2) = 0 $$

これが $a$ のどんな値に対しても成り立つための条件は、

$$ \begin{cases} 2x = 0 \\ y - 2 = 0 \end{cases} $$

これを解いて $x = 0, y = 2$ となる。よって、この直線は定点 $(0, 2)$ を通ることが証明された。

(2)

(1)より、2つの接点の $x$ 座標 $\alpha, \beta$ （$\alpha < \beta$ とする）は、2次方程式 $t^2 - 2at - 1 = 0$ の解である。解と係数の関係より、

$$ \begin{cases} \alpha + \beta = 2a \\ \alpha\beta = -1 \end{cases} $$

ここで、$\beta - \alpha$ を計算すると、

$$ (\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = (2a)^2 - 4(-1) = 4(a^2 + 1) $$

$\alpha < \beta$ より $\beta - \alpha > 0$ であるから、

$$ \beta - \alpha = 2\sqrt{a^2 + 1} $$

放物線 $y = x^2+1$ と2つの接線で囲まれる部分の面積を $S$ とする。 2つの接線の方程式はそれぞれ $y = 2\alpha x - \alpha^2 + 1$ と $y = 2\beta x - \beta^2 + 1$ であり、その交点の $x$ 座標は $(a, 0)$ より $x = a$ である。また $a = \frac{\alpha+\beta}{2}$ である。したがって、求める面積 $S$ は、

$$ \begin{aligned} S &= \int_{\alpha}^{a} \left\{ (x^2 + 1) - (2\alpha x - \alpha^2 + 1) \right\} dx + \int_{a}^{\beta} \left\{ (x^2 + 1) - (2\beta x - \beta^2 + 1) \right\} dx \\ &= \int_{\alpha}^{a} (x - \alpha)^2 dx + \int_{a}^{\beta} (x - \beta)^2 dx \\ &= \left[ \frac{(x - \alpha)^3}{3} \right]_{\alpha}^{a} + \left[ \frac{(x - \beta)^3}{3} \right]_{a}^{\beta} \\ &= \frac{(a - \alpha)^3}{3} - \frac{(a - \beta)^3}{3} \\ &= \frac{(a - \alpha)^3}{3} + \frac{(\beta - a)^3}{3} \end{aligned} $$

ここで、$a = \frac{\alpha+\beta}{2}$ より $a - \alpha = \frac{\beta - \alpha}{2}, \beta - a = \frac{\beta - \alpha}{2}$ であるから、

$$ \begin{aligned} S &= \frac{1}{3} \left( \frac{\beta - \alpha}{2} \right)^3 + \frac{1}{3} \left( \frac{\beta - \alpha}{2} \right)^3 \\ &= \frac{(\beta - \alpha)^3}{12} \end{aligned} $$

これに $\beta - \alpha = 2\sqrt{a^2 + 1}$ を代入して、

$$ \begin{aligned} S &= \frac{\left( 2\sqrt{a^2 + 1} \right)^3}{12} \\ &= \frac{8(a^2 + 1)\sqrt{a^2 + 1}}{12} \\ &= \frac{2}{3}(a^2 + 1)\sqrt{a^2 + 1} \end{aligned} $$

解法2

(1)の別解

放物線 $y = x^2 + 1$ は $x^2 = y - 1$ と変形できる。この放物線上の接点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は、

$$ x_1 x = \frac{y + y_1}{2} - 1 $$

となる。この接線が点 $(a, 0)$ を通ることから、

$$ a x_1 = \frac{0 + y_1}{2} - 1 $$

$$ y_1 = 2ax_1 + 2 $$

これが成り立つということは、接点 $(x_1, y_1)$ は直線 $y = 2ax + 2$ 上にあることを意味する。もう1つの接点を $(x_2, y_2)$ としても同様に $y_2 = 2ax_2 + 2$ が成り立つため、2つの接点を結ぶ直線の方程式は $y = 2ax + 2$ である。この直線が $a$ の値によらず定点を通るための条件は、

$$ 2xa - (y - 2) = 0 $$

が任意の $a$ について成り立つことである。したがって $x = 0, y = 2$ となり、定点 $(0, 2)$ を通ることが示された。

解説

(1) は「極線」の導出をテーマにした典型問題です。解法1のように接点の座標を文字でおいて方程式の解として捉える方法と、解法2のように2次曲線の接線の公式をうまく利用して一直線上に並ぶ条件を導く方法があります。どちらもマスターしておきたい考え方です。 (2) は放物線と2接線で囲まれた面積の計算であり、いわゆる「1/12公式」を導出する過程そのものです。交点の $x$ 座標が2接点の $x$ 座標の中点になるという性質や、$(x-\alpha)^2$ の積分を活用することで、計算量を大幅に減らすことができます。