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名古屋大学 1978年文系第5問解説

方針・初手

定積分において被積分関数が絶対値を含んでいるため、積分区間 $0 \leqq x \leqq 1$ における絶対値の中身の符号を調べることが第一歩である。

絶対値の中身は $x^{n+1} - p^n x = x(x^n - p^n)$ と因数分解できる。積分区間において $x \geqq 0$ であるため、符号の変化は $x^n - p^n$ の符号に依存する。方程式 $x^n - p^n = 0$ は $x \geqq 0, p > 0$ の範囲で $x = p$ を解にもつ。

したがって、積分区間 $[0, 1]$ の中に $x = p$ が含まれるかどうか、すなわち $p \geqq 1$ か $0 < p < 1$ かで場合分けをして絶対値を外す。

解法1

被積分関数の中身を $f(x) = x^{n+1} - p^n x$ とおくと、$f(x) = x(x^n - p^n)$ となる。 $x \geqq 0$ のとき、$f(x)$ の符号は $x^n - p^n$ の符号と一致する。すなわち、 $0 \leqq x \leqq p$ のとき $f(x) \leqq 0$ $x \geqq p$ のとき $f(x) \geqq 0$ となる。

積分区間 $[0, 1]$ と $p$ の大小関係によって場合分けを行う。

(i) $p \geqq 1$ のとき

区間 $0 \leqq x \leqq 1$ において常に $x \leqq p$ であるため、$f(x) \leqq 0$ となる。したがって、絶対値を外すと $|f(x)| = -f(x) = p^n x - x^{n+1}$ である。これより、$I(p)$ を計算する。

$$ \begin{aligned} I(p) &= \int_0^1 (p^n x - x^{n+1}) dx \\ &= \left[ \frac{p^n}{2} x^2 - \frac{1}{n+2} x^{n+2} \right]_0^1 \\ &= \frac{1}{2} p^n - \frac{1}{n+2} \end{aligned} $$

$p \geqq 1$ かつ $n \geqq 1$ より、$I(p)$ はこの範囲で単調に増加する。

(ii) $0 < p < 1$ のとき

積分区間を $0 \leqq x \leqq p$ と $p \leqq x \leqq 1$ に分割する。 $0 \leqq x \leqq p$ のとき、$f(x) \leqq 0$ より $|f(x)| = p^n x - x^{n+1}$ $p \leqq x \leqq 1$ のとき、$f(x) \geqq 0$ より $|f(x)| = x^{n+1} - p^n x$ となるため、$I(p)$ は次のように計算できる。

$$ I(p) = \int_0^p (p^n x - x^{n+1}) dx + \int_p^1 (x^{n+1} - p^n x) dx $$

それぞれの定積分を計算する。

前半部分：

$$ \begin{aligned} \int_0^p (p^n x - x^{n+1}) dx &= \left[ \frac{p^n}{2} x^2 - \frac{1}{n+2} x^{n+2} \right]_0^p \\ &= \frac{1}{2} p^{n+2} - \frac{1}{n+2} p^{n+2} \\ &= \frac{n}{2(n+2)} p^{n+2} \end{aligned} $$

後半部分：

$$ \begin{aligned} \int_p^1 (x^{n+1} - p^n x) dx &= \left[ \frac{1}{n+2} x^{n+2} - \frac{p^n}{2} x^2 \right]_p^1 \\ &= \left( \frac{1}{n+2} - \frac{p^n}{2} \right) - \left( \frac{1}{n+2} p^{n+2} - \frac{p^n}{2} p^2 \right) \\ &= \frac{1}{n+2} - \frac{1}{2} p^n + \frac{n+1}{2(n+2)} p^{n+2} \end{aligned} $$

これらを足し合わせて $I(p)$ を整理する。

$$ \begin{aligned} I(p) &= \frac{n}{2(n+2)} p^{n+2} + \frac{1}{n+2} - \frac{1}{2} p^n + \frac{n+1}{2(n+2)} p^{n+2} \\ &= \frac{2n+1}{2(n+2)} p^{n+2} - \frac{1}{2} p^n + \frac{1}{n+2} \end{aligned} $$

ここで、$I(p)$ の最小値を調べるために、$p$ で微分する。

$$ \begin{aligned} I'(p) &= \frac{2n+1}{2(n+2)} (n+2) p^{n+1} - \frac{n}{2} p^{n-1} \\ &= \frac{2n+1}{2} p^{n+1} - \frac{n}{2} p^{n-1} \\ &= \frac{p^{n-1}}{2} \left\{ (2n+1) p^2 - n \right\} \end{aligned} $$

$I'(p) = 0$ となる $p$ は、$0 < p < 1$ の範囲では

$$ p = \sqrt{\frac{n}{2n+1}} $$

である。ここで、$p_0 = \sqrt{\frac{n}{2n+1}}$ とおく。 $0 < p < p_0$ のとき $I'(p) < 0$ であり、$I(p)$ は単調減少する。 $p_0 < p < 1$ のとき $I'(p) > 0$ であり、$I(p)$ は単調増加する。

したがって、$I(p)$ は $p = p_0$ において極小かつ最小となる。

以上の (i), (ii) より、$p > 0$ における $I(p)$ の最小値は $p = \sqrt{\frac{n}{2n+1}}$ のときにとる。

解説

絶対値を含む関数の定積分についての典型的な問題である。積分区間内における符号変化の有無を確認し、積分区間を正しく分割することがポイントとなる。

定積分の計算後は、パラメーター $p$ の関数として最小値を求めるため、導関数を求めて増減を調べるという基本的な解析の流れを踏む。本問のように、場合分けの境界（ここでは $p=1$）付近の連続性を意識しておくと、計算ミスの確認に役立つ。$I(p)$ の式において $p \to 1$ とした極限が一致することは簡単に確かめられる。

なお、解答内で積分計算をまとめる際、

$$ I(p) = 2 \int_0^p (p^n x - x^{n+1}) dx + \int_0^1 (x^{n+1} - p^n x) dx $$

のように変形して計算量を減らす工夫も有効である。