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北海道大学 1968年文系第1問解説

方針・初手

(1) は対数の定義または底の変換公式を用いて、式の底を $a$ に揃えることを考える。

(2) は対数の性質 $a^{\log_c b} = b^{\log_c a}$ に着目し、式中の $2^{\log x}$ と $x^{\log 2}$ が等しいことを見抜いて置換する。対数を扱うため、最初に真数条件を確認することを忘れないようにする。

解法1

(1)

$0 < a, a \neq 1, 0 < b$ より、対数の底として $a$ をとることができる。

$b = a^{\log_a b}$ であるから、両辺を $x$ 乗すると以下のようになる。

$$ b^x = (a^{\log_a b})^x $$

指数法則より、次のように変形できる。

$$ (a^{\log_a b})^x = a^{x \log_a b} $$

したがって、空欄に入る式は $x \log_a b$ である。

(2)

対数の真数は正であるから、条件として $x > 0$ である。

与えられた方程式に含まれる $x^{\log 2}$ について考える。

常用対数をとると $\log (x^{\log 2}) = \log 2 \cdot \log x$ であり、また $\log (2^{\log x}) = \log x \cdot \log 2$ であるため、これらは等しい。

したがって、以下の関係が成り立つ。

$$ x^{\log 2} = 2^{\log x} $$

ここで、$t = 2^{\log x}$ とおく。$x > 0$ のとき $\log x$ はすべての実数値をとるため、$t > 0$ である。

与えられた方程式は $x^{\log 2} = t$ および $2^{1+\log x} = 2 \cdot 2^{\log x} = 2t$ を用いて次のように書き換えられる。

$$ t \cdot t - 3t - 2t + 4 = 0 $$

整理して因数分解する。

$$ t^2 - 5t + 4 = 0 $$

$$ (t - 1)(t - 4) = 0 $$

$t > 0$ であるから、これを満たす解は $t = 1, 4$ である。

(i) $t = 1$ のとき

$$ 2^{\log x} = 1 $$

$$ 2^{\log x} = 2^0 $$

これより $\log x = 0$ となるため、$x = 10^0 = 1$ である。

(ii) $t = 4$ のとき

$$ 2^{\log x} = 4 $$

$$ 2^{\log x} = 2^2 $$

これより $\log x = 2$ となるため、$x = 10^2 = 100$ である。

得られた $x = 1, 100$ はどちらも真数条件 $x > 0$ を満たす。

解説

対数の基本性質に関する典型問題である。

(1) は対数の定義 $M = a^{\log_a M}$ を適切に運用できるかを問うている。両辺の底 $a$ の対数をとって $\log_a (b^x) = \log_a (a^{\Box})$ から $x \log_a b = \Box$ と導いてもよい。

(2) で用いる $a^{\log_c b} = b^{\log_c a}$ は、底 $c$ の対数をとることで容易に証明できるが、頻出の性質であるため公式として定着させておきたい。なお、本問では (1) が (2) の誘導として機能していると見ることもできる。(1) の結果において $a=10, b=x$ とし、右辺の $x$ にあたる部分を $\log 2$ とすれば、底が $10$ の常用対数において $x^{\log 2} = 10^{\log 2 \cdot \log x}$ となる。さらに $10^{\log x} = x$ であることを用いれば、$(10^{\log x})^{\log 2} = 2^{\log x}$ と等式を導くことが可能である。