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北海道大学 1965年文系第3問解説

方針・初手

与えられた対数の式を $\log x$ を用いて展開し、$\log x$ を消去することで、指標 $m, n$ と仮数 $\alpha, \beta$ の間に成り立つ関係式を導くのが最初の目標である。仮数の定義より $0 \leqq \alpha < 1, 0 \leqq \beta < 1$ であることを利用し、$2\alpha+\beta$ のとりうる値を整数に絞り込む。

解法1

(1)

与えられた条件より、以下の式が成り立つ。

$$ \log \frac{\sqrt{x}}{10} = m + \alpha \quad (0 \leqq \alpha < 1) $$

$$ \log \frac{10^3}{x} = n + \beta \quad (0 \leqq \beta < 1) $$

それぞれの左辺を対数の性質を用いて変形する。

$$ \frac{1}{2}\log x - 1 = m + \alpha $$

$$ 3 - \log x = n + \beta $$

第1式の両辺を2倍して、第2式と辺々を加えることで $\log x$ を消去する。

$$ (\log x - 2) + (3 - \log x) = 2(m + \alpha) + (n + \beta) $$

$$ 1 = 2m + n + 2\alpha + \beta $$

これを $2\alpha + \beta$ について解くと、次のようになる。

$$ 2\alpha + \beta = 1 - 2m - n $$

$m, n$ は整数であるから、右辺の $1 - 2m - n$ も整数である。したがって、$2\alpha + \beta$ は整数である。一方で、仮数の条件 $0 \leqq \alpha < 1, 0 \leqq \beta < 1$ より、次の不等式が成り立つ。

$$ 0 \leqq 2\alpha < 2 $$

$$ 0 \leqq \beta < 1 $$

これら辺々を加えると、次を得る。

$$ 0 \leqq 2\alpha + \beta < 3 $$

これらを満たす整数 $2\alpha + \beta$ の値は $0, 1, 2$ に限られる。実際にこれらの値がとりうることを以下のように確認できる。

$x = 10^2$ のとき、$m=0, \alpha=0, n=1, \beta=0$ となり、$2\alpha + \beta = 0$ である。
$x = 10$ のとき、$m=-1, \alpha=0.5, n=2, \beta=0$ となり、$2\alpha + \beta = 1$ である。
$x = 10^{\frac{3}{2}}$ のとき、$m=-1, \alpha=0.75, n=1, \beta=0.5$ となり、$2\alpha + \beta = 2$ である。

以上より、$2\alpha + \beta$ の値は $0, 1, 2$ である。

(2)

(1) で得られた式 $1 = 2m + n + 2\alpha + \beta$ に $n = m + 2$ を代入する。

$$ 1 = 2m + (m + 2) + 2\alpha + \beta $$

$$ 3m + 1 = -(2\alpha + \beta) $$

(1) の結果より、$2\alpha + \beta$ は $0, 1, 2$ のいずれかであるため、場合分けを行う。

(i) $2\alpha + \beta = 0$ のとき

$$ 3m + 1 = 0 \iff m = -\frac{1}{3} $$

これは $m$ が整数であることに矛盾する。

(ii) $2\alpha + \beta = 1$ のとき

$$ 3m + 1 = -1 \iff m = -\frac{2}{3} $$

これも $m$ が整数であることに矛盾する。

(iii) $2\alpha + \beta = 2$ のとき

$$ 3m + 1 = -2 \iff m = -1 $$

これは整数であり、適する。このとき $n = m + 2 = 1$ である。

したがって、$m = -1, n = 1$ と定まる。このとき、対数の式は以下のようになる。

$$ \frac{1}{2}\log x - 1 = -1 + \alpha $$

$$ 3 - \log x = 1 + \beta $$

これらを $\alpha, \beta$ について解くと、

$$ \alpha = \frac{1}{2}\log x $$

$$ \beta = 2 - \log x $$

これが仮数の条件 $0 \leqq \alpha < 1$ および $0 \leqq \beta < 1$ を満たさなければならない。

$$ 0 \leqq \frac{1}{2}\log x < 1 \iff 0 \leqq \log x < 2 $$

$$ 0 \leqq 2 - \log x < 1 \iff -2 \leqq -\log x < -1 \iff 1 < \log x \leqq 2 $$

これら2つの不等式を同時に満たす $\log x$ の範囲を求める。

$$ 1 < \log x < 2 $$

対数の底 $10$ は $1$ より大きいので、真数の大小関係は変わらない。

$$ 10^1 < x < 10^2 $$

すなわち、$10 < x < 100$ である。

解説

対数の指標と仮数の問題である。指標が整数であり、仮数が $0$ 以上 $1$ 未満の実数であるという定義式を立て、それらを連立して扱うのが基本方針である。 (1) では、式から $\log x$ を消去して $2\alpha+\beta$ と $m,n$ だけの関係式を作ることで、$2\alpha+\beta$ が整数になることを導くのがポイントである。その後、定義域からとりうる値の範囲を絞り込む。 (2) は、(1) の結果を利用して場合分けを行い、矛盾を排除して $m, n$ を確定させる。最後に再び $\alpha, \beta$ の定義域に戻って $\log x$ の範囲を求めるという論理の組み立てが要求される、よく練られた問題である。