北海道大学 1968年 文系 第6問 解説

方針・初手

領域は $y$ 軸に関して対称であることに着目し、まずは $x \geqq 0$ の部分の境界線を調べる。回転体の体積は $y$ 軸まわりの回転であるため、$y$ 軸方向の積分（円盤法）を見据えて、各 $y$ における $x$ の範囲を整理するとよい。

解法1

(1)

与えられた不等式は以下の通りである。 $$ 0 \leqq y \tag{A} $$ $$ 0 \leqq y^2 - x^2 \leqq t^2 \quad (0 < t < 1) \tag{B} $$ $$ x^2 - (y-2)^2 \leqq 0 \tag{C} $$

これらの不等式において $x$ を $-x$ に置き換えても同値であるため、条件を満たす領域は $y$ 軸に関して対称である。したがって、以下では $x \geqq 0$ の範囲について考える。

条件 (A), (B) より、 $$ x^2 \leqq y^2 \quad \text{かつ} \quad x^2 \geqq y^2 - t^2 $$

$x \geqq 0, y \geqq 0$ において、これは $$ x \leqq y \quad \text{かつ} \quad y \leqq \sqrt{x^2+t^2} $$ と同値である。

条件 (C) より、 $$ x^2 \leqq (y-2)^2 \iff x \leqq |y-2| $$

$y$ の値によって場合分けをする。 (i) $y > 2$ のとき $x \leqq y-2 \iff y \geqq x+2$ となる。 しかし、条件 (B) の $y^2 - x^2 \leqq t^2$ より、 $$ (x+2)^2 - x^2 \leqq t^2 \iff 4x + 4 \leqq t^2 $$ $x \geqq 0$ より $4x+4 \geqq 4$ であり、一方 $0 < t < 1$ より $t^2 < 1$ であるため、これを満たす $x$ は存在しない。

(ii) $0 \leqq y \leqq 2$ のとき $x \leqq -(y-2) \iff y \leqq -x+2$ となる。

以上より、$x \geqq 0$ における領域は以下の不等式系で表される。 $$ x \leqq y \leqq -x+2 $$ $$ y \leqq \sqrt{x^2+t^2} $$

直線 $y = x$ と直線 $y = -x+2$ の交点は $(1, 1)$ である。 曲線 $y = \sqrt{x^2+t^2}$ $(y>0)$ と直線 $y = -x+2$ の交点を求める。 $$ x^2+t^2 = (-x+2)^2 \iff x^2+t^2 = x^2-4x+4 $$ $$ 4x = 4-t^2 \iff x = 1-\frac{t^2}{4} $$

$0 < t < 1$ であるから $0 < x < 1$ を満たす。このとき $y = 1+\frac{t^2}{4}$ であり、交点は $\left( 1-\frac{t^2}{4}, 1+\frac{t^2}{4} \right)$ となる。

したがって、$x \geqq 0$ の領域は、以下の3つの境界線で囲まれた図形である。 ・双曲線の一部 $y = \sqrt{x^2+t^2} \quad \left(0 \leqq x \leqq 1-\frac{t^2}{4}\right)$ ・線分 $y = -x+2 \quad \left(1-\frac{t^2}{4} \leqq x \leqq 1\right)$ ・線分 $y = x \quad \left(0 \leqq x \leqq 1\right)$

求める領域全体は、この図形と、それを $y$ 軸に関して対称に折り返した図形を合わせた範囲である（斜線部）。

(2)

(1) で求めた領域を $y$ 軸のまわりに回転させる。対称性より、$x \geqq 0$ の部分を回転させればよい。 体積 $V(t)$ を $y$ 軸に沿った積分として求める。各 $y$ における $x$ の存在範囲は以下のようになる。

(i) $0 \leqq y \leqq t$ のとき $y^2-t^2 \leqq 0$ であるため、$x^2 \geqq y^2-t^2$ は常に満たされる。 よって $0 \leqq x \leqq y$ となる。

(ii) $t \leqq y \leqq 1$ のとき $\sqrt{y^2-t^2} \leqq x \leqq y$ となる。

(iii) $1 \leqq y \leqq 1+\frac{t^2}{4}$ のとき $\sqrt{y^2-t^2} \leqq x \leqq 2-y$ となる。

それぞれの区間で回転体の断面積は $\pi(x_{\text{max}}^2 - x_{\text{min}}^2)$ であるから、 $$ \begin{aligned} V(t) &= \pi \int_{0}^{t} y^2 \,dy + \pi \int_{t}^{1} \left\{ y^2 - (y^2 - t^2) \right\} dy + \pi \int_{1}^{1+\frac{t^2}{4}} \left\{ (2-y)^2 - (y^2 - t^2) \right\} dy \\ &= \pi \int_{0}^{t} y^2 \,dy + \pi \int_{t}^{1} t^2 \,dy + \pi \int_{1}^{1+\frac{t^2}{4}} (4 - 4y + t^2) \,dy \end{aligned} $$

各項の積分を計算する。 第1項： $$ \pi \int_{0}^{t} y^2 \,dy = \pi \left[ \frac{y^3}{3} \right]_0^t = \frac{\pi}{3} t^3 $$

第2項： $$ \pi \int_{t}^{1} t^2 \,dy = \pi \left[ t^2 y \right]_t^1 = \pi (t^2 - t^3) $$

第3項： $$ \pi \int_{1}^{1+\frac{t^2}{4}} (4 - 4y + t^2) \,dy = \pi \left[ 4y - 2y^2 + t^2 y \right]_1^{1+\frac{t^2}{4}} $$

ここで、上限での値は、 $$ \begin{aligned} \left( 1 + \frac{t^2}{4} \right) \left\{ 4 - 2\left( 1 + \frac{t^2}{4} \right) + t^2 \right\} &= \left( 1 + \frac{t^2}{4} \right) \left( 4 - 2 - \frac{t^2}{2} + t^2 \right) \\ &= \left( 1 + \frac{t^2}{4} \right) \left( 2 + \frac{t^2}{2} \right) \\ &= 2 \left( 1 + \frac{t^2}{4} \right)^2 \\ &= 2 \left( 1 + \frac{t^2}{2} + \frac{t^4}{16} \right) = 2 + t^2 + \frac{t^4}{8} \end{aligned} $$

下限での値は $4 - 2 + t^2 = 2 + t^2$ であるから、 $$ \pi \left\{ \left( 2 + t^2 + \frac{t^4}{8} \right) - (2 + t^2) \right\} = \frac{\pi}{8} t^4 $$

これらをすべて足し合わせると、 $$ V(t) = \frac{\pi}{3} t^3 + \pi (t^2 - t^3) + \frac{\pi}{8} t^4 = \pi \left( t^2 - \frac{2}{3} t^3 + \frac{1}{8} t^4 \right) $$

(3)

$V(t)$ の $t$ に関する変化率は $V'(t)$ である。 $$ V'(t) = \frac{d}{dt} \left\{ \pi \left( t^2 - \frac{2}{3} t^3 + \frac{1}{8} t^4 \right) \right\} = \pi \left( 2t - 2t^2 + \frac{1}{2} t^3 \right) $$

これを $f(t)$ とおき、$0 < t < 1$ における増減を調べる。 $$ f'(t) = \pi \left( 2 - 4t + \frac{3}{2} t^2 \right) = \frac{\pi}{2} (3t^2 - 8t + 4) = \frac{\pi}{2} (3t - 2)(t - 2) $$

$f'(t) = 0$ となるのは $t = \frac{2}{3}, 2$ である。 $0 < t < 1$ の範囲における増減表は以下のようになる。

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} t & (0) & \cdots & \frac{2}{3} & \cdots & (1) \\ \hline f'(t) & & + & 0 & - & \\ \hline f(t) & & \nearrow & \text{極大} & \searrow & \end{array} $$

増減表より、$V'(t)$ は $t = \frac{2}{3}$ で最大値をとる。

解説

(1)の領域図示では、絶対値を外す際の場合分けと、それぞれの曲線・直線の交点を正確に求めることが鍵となる。(2)の回転体の体積計算においては、$y$ 軸まわりの回転であるため、$x$ について解き直して $y$ 積分（円盤法）を行う方針が自然である。積分区間ごとに右端と左端の境界線が変わるため、丁寧に区間を分割して計算ミスを防ぎたい。

答え

(1) $x \geqq 0$ の範囲において、点 $(0,0), (1,1), \left( 1-\frac{t^2}{4}, 1+\frac{t^2}{4} \right), (0,t)$ を結ぶ境界線 $y=x$, $y=-x+2$, $y=\sqrt{x^2+t^2}$ で囲まれた部分と、これを $y$ 軸に関して対称に折り返した図形を合わせた範囲（境界を含む）。

(2) $$ V(t) = \pi \left( t^2 - \frac{2}{3} t^3 + \frac{1}{8} t^4 \right) $$

(3) $$ t = \frac{2}{3} $$