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北海道大学 1968年文系第5問解説

方針・初手

(1) は方程式を整理し、$\alpha$ 以外の重根をもつ条件から、残りの2次方程式の判別式を考える。 (2) は $f'(x)$ の特定の $x$（$\alpha, \beta, \gamma$）における符号を調べ、中間値の定理を利用して実数解の存在範囲を示す。 (3) は $f'(x)$ に $x = \frac{\alpha+\beta}{2}$ を代入した値の符号を調べ、(2) で得られた $f'(x)$ のグラフの形状と根の配置から大小関係を判断する。

解法1

(1)

方程式 $f(x) = m(x-\alpha)$ に $f(x)$ の式を代入すると、

$$ (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) - m(x-\alpha) = 0 $$

$$ (x-\alpha) \{ (x-\beta)(x-\gamma) - m \} = 0 $$

この方程式が $\alpha$ と異なる重根をもつためには、2次方程式 $(x-\beta)(x-\gamma) - m = 0$ が $\alpha$ でない重根をもてばよい。展開して整理すると、

$$ x^2 - (\beta+\gamma)x + \beta\gamma - m = 0 $$

この2次方程式の判別式を $D$ とすると、$D = 0$ となるので、

$$ D = (\beta+\gamma)^2 - 4(\beta\gamma - m) = 0 $$

$$ (\beta+\gamma)^2 - 4\beta\gamma + 4m = 0 $$

$$ (\beta-\gamma)^2 + 4m = 0 $$

$$ m = -\frac{(\beta-\gamma)^2}{4} $$

このとき、重根は2次方程式の解の公式より、

$$ x = \frac{\beta+\gamma}{2} $$

この重根が $\alpha$ と異なることを確認する。条件 $\alpha < \beta < \gamma$ より、

$$ \frac{\beta+\gamma}{2} > \frac{\beta+\beta}{2} = \beta > \alpha $$

よって、重根は $\alpha$ と異なり適する。以上より、$m = -\frac{(\beta-\gamma)^2}{4}$、重根は $\frac{\beta+\gamma}{2}$ である。

(2)

積の微分法を用いて $f(x)$ を微分すると、

$$ f'(x) = (x-\beta)(x-\gamma) + (x-\alpha)(x-\gamma) + (x-\alpha)(x-\beta) $$

$f'(x)$ は $x$ の2次関数である。ここで $x = \alpha, \beta, \gamma$ をそれぞれ代入すると、

$$ f'(\alpha) = (\alpha-\beta)(\alpha-\gamma) $$

$$ f'(\beta) = (\beta-\alpha)(\beta-\gamma) $$

$$ f'(\gamma) = (\gamma-\alpha)(\gamma-\beta) $$

条件 $\alpha < \beta < \gamma$ より、$\alpha-\beta < 0, \alpha-\gamma < 0$ であるから、$f'(\alpha) > 0$ である。同様に、$\beta-\alpha > 0, \beta-\gamma < 0$ であるから、$f'(\beta) < 0$ である。 $\gamma-\alpha > 0, \gamma-\beta > 0$ であるから、$f'(\gamma) > 0$ である。

関数 $f'(x)$ はすべての実数で連続であるから、中間値の定理より、方程式 $f'(x) = 0$ は $\alpha < x < \beta$ の範囲と $\beta < x < \gamma$ の範囲にそれぞれ少なくとも1つの実数解をもつ。 $f'(x) = 0$ は2次方程式であるから実数解は高々2個である。したがって、方程式 $f'(x) = 0$ は相異なる2実根をもつ。（証明終）

(3)

(2) の結果より、$f'(x) = 0$ の2根 $A, B \ (A < B)$ は、$\alpha < A < \beta$ かつ $\beta < B < \gamma$ を満たす。 $f'(x)$ の $x^2$ の係数は正であるため、$y = f'(x)$ のグラフは下に凸の放物線であり、$\alpha < x < \beta$ の区間において、$\alpha \leqq x < A$ のとき $f'(x) > 0$、$A < x \leqq \beta$ のとき $f'(x) < 0$ となる。

ここで、$f'(x)$ に $x = \frac{\alpha+\beta}{2}$ を代入して符号を調べる。

$$ f'\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) = \left(\frac{\alpha+\beta}{2}-\beta\right)\left(\frac{\alpha+\beta}{2}-\gamma\right) + \left(\frac{\alpha+\beta}{2}-\alpha\right)\left(\frac{\alpha+\beta}{2}-\gamma\right) + \left(\frac{\alpha+\beta}{2}-\alpha\right)\left(\frac{\alpha+\beta}{2}-\beta\right) $$

第1項と第2項を $\left(\frac{\alpha+\beta}{2}-\gamma\right)$ でくくると、

$$ \left(\frac{\alpha+\beta}{2}-\gamma\right) \left\{ \left(\frac{\alpha+\beta}{2}-\beta\right) + \left(\frac{\alpha+\beta}{2}-\alpha\right) \right\} = \left(\frac{\alpha+\beta}{2}-\gamma\right) (\alpha+\beta-\beta-\alpha) = 0 $$

よって、第3項のみが残り、

$$ \frac{\alpha+\beta}{2}-\alpha = \frac{\beta-\alpha}{2} $$

$$ \frac{\alpha+\beta}{2}-\beta = \frac{\alpha-\beta}{2} $$

であるから、

$$ f'\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) = \frac{\beta-\alpha}{2} \cdot \frac{\alpha-\beta}{2} = -\frac{(\beta-\alpha)^2}{4} $$

$\alpha < \beta$ より $\beta-\alpha \neq 0$ であるから、$f'\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) < 0$ となる。

また、$\alpha < \frac{\alpha+\beta}{2} < \beta$ である。$\alpha < x < \beta$ の範囲において $f'(x) < 0$ となるのは $A < x < \beta$ の区間であるから、$\frac{\alpha+\beta}{2}$ はこの区間に含まれる。すなわち、$A < \frac{\alpha+\beta}{2} < \beta$ が成り立つ。よって、$A < \frac{1}{2}(\alpha+\beta)$ である。

解法2

(2)の別解（判別式による証明）

$f'(x)$ を展開して整理する。

$$ f'(x) = (x^2-(\beta+\gamma)x+\beta\gamma) + (x^2-(\alpha+\gamma)x+\alpha\gamma) + (x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta) $$

$$ f'(x) = 3x^2 - 2(\alpha+\beta+\gamma)x + (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) $$

方程式 $f'(x) = 0$ の判別式を $D'$ とすると、

$$ \frac{D'}{4} = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 3(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) $$

$$ \frac{D'}{4} = \alpha^2+\beta^2+\gamma^2 + 2\alpha\beta+2\beta\gamma+2\gamma\alpha - 3\alpha\beta-3\beta\gamma-3\gamma\alpha $$

$$ \frac{D'}{4} = \alpha^2+\beta^2+\gamma^2 - \alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha $$

$$ \frac{D'}{4} = \frac{1}{2} \{ (\alpha-\beta)^2 + (\beta-\gamma)^2 + (\gamma-\alpha)^2 \} $$

条件 $\alpha < \beta < \gamma$ より、$\alpha, \beta, \gamma$ は互いに異なる実数であるため、$(\alpha-\beta)^2 > 0$ などが成り立ち、$D' > 0$ となる。したがって、2次方程式 $f'(x) = 0$ は相異なる2実根をもつ。（証明終）

解説

(1) は、特定の因数をもつ3次方程式の重解条件を問う問題である。共通因数 $(x-\alpha)$ でくくることで、残りの2次方程式の判別式を利用して容易に処理できる。 (2) は導関数の実数解の存在を示す問題である。展開して判別式を利用する方法（解法2）と、特定の値を代入して中間値の定理を利用する方法（解法1）の2つのアプローチが考えられる。中間値の定理を用いる方が、(3) の大小関係の考察へと自然に繋がるため有効である。 (3) は関数のグラフの概形と符号変化から、解の範囲を絞り込む典型的な手法である。代入計算においては、共通因数でくくる工夫をすることで、計算ミスを防ぎ符号の判定を確実に行うことができる。