トップ› 北海道大学› 1969年› 文系第5問

北海道大学 1969年文系第5問解説

方針・初手

(1) 隣接3項間漸化式を解く基本的な手順に従う。特性方程式を利用して2つの等比数列を導き、それらを連立させて $a_n$ の一般項を求める。

(2) (1)で求めた $a_n$ を代入し、対数の性質を用いて分母の各因子を $k$ の1次式として表す。その後、部分分数分解を利用して和 $S_n$ を計算し、極限をとる。

解法1

(1)

与えられた漸化式は次のように書き直せる。

$$ 3a_{n+2} - 4a_{n+1} + a_n = 0 \quad (n \geqq 1) $$

この隣接3項間漸化式の特性方程式 $3t^2 - 4t + 1 = 0$ を解くと、$(3t - 1)(t - 1) = 0$ より $t = 1, \frac{1}{3}$ となる。

したがって、漸化式は次の2通りに変形できる。

$$ \begin{cases} a_{n+2} - a_{n+1} = \frac{1}{3}(a_{n+1} - a_n) \\ a_{n+2} - \frac{1}{3}a_{n+1} = a_{n+1} - \frac{1}{3}a_n \end{cases} $$

第1の式より、数列 $\{a_{n+1} - a_n\}$ は初項 $a_2 - a_1 = \frac{5}{3} - 3 = -\frac{4}{3}$、公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列である。

$$ a_{n+1} - a_n = -\frac{4}{3}\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} = -4\left(\frac{1}{3}\right)^n \quad \cdots \text{①} $$

第2の式より、数列 $\left\{a_{n+1} - \frac{1}{3}a_n\right\}$ は初項 $a_2 - \frac{1}{3}a_1 = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}$、公比 $1$ の等比数列である。

$$ a_{n+1} - \frac{1}{3}a_n = \frac{2}{3} \quad \cdots \text{②} $$

② $-$ ① を計算すると、

$$ \frac{2}{3}a_n = \frac{2}{3} + 4\left(\frac{1}{3}\right)^n $$

両辺に $\frac{3}{2}$ を掛けて整理すると、

$$ a_n = 1 + 6\left(\frac{1}{3}\right)^n = 1 + 2\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} $$

これは $n=1$ のとき $a_1 = 3$ となり、条件を満たす。

(2)

(1) の結果より、

$$ a_k - 1 = 2\left(\frac{1}{3}\right)^{k-1} = 2 \cdot 3^{-(k-1)} $$

常用対数をとると、

$$ \log(a_k - 1) = \log\left(2 \cdot 3^{-(k-1)}\right) = \log 2 - (k-1)\log 3 $$

となる。ここで、隣り合う項の差を計算すると、

$$ \log(a_k - 1) - \log(a_{k+1} - 1) = \log 2 - (k-1)\log 3 - (\log 2 - k\log 3) = \log 3 $$

となる。これを用いて和 $S_n$ の各項を部分分数分解する。

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\log(a_k - 1)\log(a_{k+1} - 1)} &= \frac{1}{\log 3} \cdot \frac{\log(a_k - 1) - \log(a_{k+1} - 1)}{\log(a_k - 1)\log(a_{k+1} - 1)} \\ &= \frac{1}{\log 3} \left\{ \frac{1}{\log(a_{k+1} - 1)} - \frac{1}{\log(a_k - 1)} \right\} \end{aligned} $$

これより、和 $S_n$ は次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} S_n &= \sum_{k=1}^n \frac{1}{\log 3} \left\{ \frac{1}{\log(a_{k+1} - 1)} - \frac{1}{\log(a_k - 1)} \right\} \\ &= \frac{1}{\log 3} \left[ \left\{ \frac{1}{\log(a_2 - 1)} - \frac{1}{\log(a_1 - 1)} \right\} + \left\{ \frac{1}{\log(a_3 - 1)} - \frac{1}{\log(a_2 - 1)} \right\} + \cdots + \left\{ \frac{1}{\log(a_{n+1} - 1)} - \frac{1}{\log(a_n - 1)} \right\} \right] \\ &= \frac{1}{\log 3} \left\{ \frac{1}{\log(a_{n+1} - 1)} - \frac{1}{\log(a_1 - 1)} \right\} \end{aligned} $$

ここで、$n \to \infty$ のとき、

$$ \log(a_{n+1} - 1) = \log 2 - n\log 3 \to -\infty $$

であるから、

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\log(a_{n+1} - 1)} = 0 $$

となる。したがって、求める極限は、

$$ \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1}{\log 3} \left( 0 - \frac{1}{\log 2} \right) = -\frac{1}{\log 2 \log 3} $$