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北海道大学 1970年文系第6問解説

方針・初手

$S_n$ と $V_n$ をそれぞれ $a_n$ と $b$ を用いて表すことが第一歩です。$S_n$ は放物線と $x$ 軸で囲まれた面積であるため、定積分を用いて計算します。$V_n$ は $y$ 軸まわりの回転体であるため、積分変数を $y$ に変換して円盤の面積 $\pi x^2$ を積分して求めます。その後、与えられた対数の等差数列の条件式から $V_n$ の比を求め、それが $S_n$ の比とどう結びつくかを調べます。

解法1

放物線の方程式を $y$ について解くと、

$$y = -\frac{1}{a_n^2}x^2 + b$$

となる。放物線と $x$ 軸の交点の $x$ 座標は、$y=0$ とすると $x^2 = ba_n^2$ であり、$a_n > 0, b > 0$ より $x = \pm a_n\sqrt{b}$ となる。したがって、図形 $D_n$ の面積 $S_n$ は、

$$S_n = \int_{-a_n\sqrt{b}}^{a_n\sqrt{b}} \left( -\frac{1}{a_n^2}x^2 + b \right) dx$$

$$S_n = -\frac{1}{a_n^2} \int_{-a_n\sqrt{b}}^{a_n\sqrt{b}} (x - a_n\sqrt{b})(x + a_n\sqrt{b}) dx$$

公式 $\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) dx = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$ を用いると、

$$S_n = -\frac{1}{a_n^2} \left\{ -\frac{1}{6} (a_n\sqrt{b} - (-a_n\sqrt{b}))^3 \right\} = \frac{1}{6a_n^2} (2a_n\sqrt{b})^3 = \frac{8a_n^3 b\sqrt{b}}{6a_n^2} = \frac{4}{3} a_n b\sqrt{b}$$

次に、図形 $D_n$ を $y$ 軸のまわりに回転してできる回転体の体積 $V_n$ を求める。図形 $D_n$ は $y$ 軸に関して対称であるから、$x \ge 0$ の部分を $y$ 軸まわりに回転させればよい。放物線の方程式より $x^2 = a_n^2(b - y)$ であり、$y$ の積分範囲は $0 \le y \le b$ であるから、

$$V_n = \int_0^b \pi x^2 dy$$

$$V_n = \pi \int_0^b a_n^2(b - y) dy = \pi a_n^2 \left[ -\frac{1}{2}(b - y)^2 \right]_0^b = \frac{1}{2} \pi a_n^2 b^2$$

ここで、対数は常用対数（底が $10$）である。数列 $\{\log V_n\}$ が公差 $0.6$ の等差数列であるから、

$$\log V_{n+1} - \log V_n = 0.6$$

対数の性質より、

$$\log \frac{V_{n+1}}{V_n} = 0.6$$

対数の定義から、

$$\frac{V_{n+1}}{V_n} = 10^{0.6}$$

上で求めた $V_n$ を代入すると、

$$\frac{\frac{1}{2} \pi a_{n+1}^2 b^2}{\frac{1}{2} \pi a_n^2 b^2} = 10^{0.6}$$

$$\frac{a_{n+1}^2}{a_n^2} = 10^{0.6}$$

$a_n > 0$ であるから、

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \left( 10^{0.6} \right)^{\frac{1}{2}} = 10^{0.3}$$

これを用いて、数列 $\{S_n\}$ の隣接項の比を調べると、

$$\frac{S_{n+1}}{S_n} = \frac{\frac{4}{3} a_{n+1} b\sqrt{b}}{\frac{4}{3} a_n b\sqrt{b}} = \frac{a_{n+1}}{a_n} = 10^{0.3}$$

隣接項の比 $\frac{S_{n+1}}{S_n}$ が $n$ に無関係な一定の値 $10^{0.3}$ となるため、数列 $\{S_n\}$ は等比数列であることが示された。また、その公比は $10^{0.3}$ である。

解説

面積 $S_n$ と体積 $V_n$ を計算し、与えられた対数の条件からパラメータ $a_n$ の関係式を導く微積分と数列の融合問題です。 $y$ 軸まわりの回転体の体積は、円盤法を用いて $V = \int \pi x^2 dy$ を計算するのが最も自然で確実です。常用対数の性質 $\log_{10} y - \log_{10} x = \log_{10} \frac{y}{x}$ を正しく用いて真数の比を導出できるかがポイントとなります。なお、公比 $10^{0.3}$ は $10^{\frac{3}{10}}$ や $\sqrt[10]{1000}$ と表記しても正解です。