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北海道大学 1974年文系第5問解説

方針・初手

(1) 接線の方程式を求め、$f(x)$ から引いた式が $(x-t)^2$ を因数にもつことを利用して割り算を行う。
(2) 異なる2点で接する直線（二重接線）が存在する条件を求める。(1)の誘導を利用して、商の2次方程式が重解をもつ条件を考えるか、二重接線の式を文字でおいて恒等式を作る。
(3) 被積分関数が $(x-\alpha)^2(x-\beta)^2$ の形になることを利用し、展開して積分するか、面積公式を用いて計算する。

解法1

(1)

曲線①上の点 $P(t, f(t))$ における接線の方程式を $y = g(x)$ とおく。 $f(x) = x^4 - 2ax^2 + bx$ を微分すると

$$ f'(x) = 4x^3 - 4ax + b $$

であるから、$x = t$ における接線の傾きは $4t^3 - 4at + b$ となる。接線 $g(x)$ の方程式は

$$ g(x) = (4t^3 - 4at + b)(x - t) + t^4 - 2at^2 + bt $$

$$ g(x) = (4t^3 - 4at + b)x - 3t^4 + 2at^2 $$

曲線と接線の共有点の $x$ 座標は、$f(x) - g(x) = 0$ の実数解である。

$$ f(x) - g(x) = x^4 - 2ax^2 + bx - \{ (4t^3 - 4at + b)x - 3t^4 + 2at^2 \} $$

$$ f(x) - g(x) = x^4 - 2ax^2 - (4t^3 - 4at)x + 3t^4 - 2at^2 $$

この方程式は $x = t$ で接するため、左辺は $(x - t)^2$ すなわち $x^2 - 2tx + t^2$ で割り切れる。実際に割り算を行うと

$$ x^4 - 2ax^2 - (4t^3 - 4at)x + 3t^4 - 2at^2 = (x - t)^2 (x^2 + 2tx + 3t^2 - 2a) $$

となる。点 $Q$ は点 $P$ と異なるため、その $x$ 座標は $x \neq t$ である。したがって、点 $Q$ の $x$ 座標は次の2次方程式を満足する。

$$ x^2 + 2tx + 3t^2 - 2a = 0 $$

(2)

曲線①と異なる2点で接する直線が存在するとき、(1) で考えた接線が点 $P$ とは異なる点でも曲線に接することになる。これは、(1) で求めた点 $Q$ の $x$ 座標が満足する2次方程式が、重解をもつことと同値である。この2次方程式の判別式を $D$ とすると、$D = 0$ となればよいから

$$ \frac{D}{4} = t^2 - (3t^2 - 2a) = -2t^2 + 2a = 0 $$

$$ t^2 = a $$

これが実数解 $t$ をもつためには、$a \ge 0$ が必要である。このとき、2次方程式の重解は $x = -t$ となる。直線が「異なる2点」で接するためには、接点の $x$ 座標が異なる必要があり、$t \neq -t$ すなわち $t \neq 0$ でなければならない。以上より、$a > 0$ である。接点の $x$ 座標は $t$ と $-t$ であり、$t^2 = a$ より $t = \pm \sqrt{a}$ となるため、接点の $x$ 座標は $\pm \sqrt{a}$ である。

(3)

(2) のとき、二重接線を $y = g(x)$ とすると、接点の $x$ 座標は $-\sqrt{a}$ と $\sqrt{a}$ である。 $f(x) - g(x)$ は最高次の係数が $1$ であり、$(x + \sqrt{a})^2$ および $(x - \sqrt{a})^2$ を因数にもつため

$$ f(x) - g(x) = (x + \sqrt{a})^2 (x - \sqrt{a})^2 = (x^2 - a)^2 $$

と表せる。 $-\sqrt{a} \le x \le \sqrt{a}$ の区間において $f(x) - g(x) \ge 0$ であるから、求める面積 $S$ は

$$ S = \int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (x^2 - a)^2 dx $$

被積分関数は偶関数であるため、積分区間を半分にして計算すると

$$ \begin{aligned} S &= 2 \int_{0}^{\sqrt{a}} (x^4 - 2ax^2 + a^2) dx \\ &= 2 \left[ \frac{1}{5}x^5 - \frac{2}{3}ax^3 + a^2x \right]_{0}^{\sqrt{a}} \\ &= 2 \left( \frac{1}{5}a^2\sqrt{a} - \frac{2}{3}a^2\sqrt{a} + a^2\sqrt{a} \right) \\ &= 2 \left( \frac{3 - 10 + 15}{15} \right) a^2\sqrt{a} \\ &= \frac{16}{15}a^2\sqrt{a} \end{aligned} $$

解法2

(1)

曲線①上の点 $P(t, f(t))$ における接線 $y = g(x)$ を求める。

$$ f'(x) = 4x^3 - 4ax + b $$

より、$x = t$ における接線の方程式は

$$ g(x) = (4t^3 - 4at + b)(x - t) + t^4 - 2at^2 + bt $$

$$ g(x) = (4t^3 - 4at + b)x - 3t^4 + 2at^2 $$

曲線①とこの接線が交わる点の $x$ 座標は、$f(x) - g(x) = 0$ の解である。

$$ x^4 - 2ax^2 - (4t^3 - 4at)x + 3t^4 - 2at^2 = 0 $$

左辺は $(x - t)^2$ で割り切れるため、因数分解すると

$$ (x - t)^2 (x^2 + 2tx + 3t^2 - 2a) = 0 $$

点 $Q$ は $x \neq t$ であるから、その $x$ 座標は次の2次方程式を満たす。

$$ x^2 + 2tx + 3t^2 - 2a = 0 $$

(2)

曲線①に異なる2点で接する直線を $y = mx + n$ とおき、接点の $x$ 座標を $\alpha, \beta \ (\alpha < \beta)$ とおく。このとき、方程式 $f(x) - (mx + n) = 0$ は $x = \alpha, \beta$ を重解にもつため、次の恒等式が成り立つ。

$$ x^4 - 2ax^2 + bx - (mx + n) = (x - \alpha)^2 (x - \beta)^2 $$

右辺を展開すると

$$ \begin{aligned} (x - \alpha)^2 (x - \beta)^2 &= \{ x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta \}^2 \\ &= x^4 - 2(\alpha + \beta)x^3 + \{ (\alpha + \beta)^2 + 2\alpha \beta \}x^2 - 2\alpha \beta(\alpha + \beta)x + \alpha^2 \beta^2 \end{aligned} $$

両辺の係数を比較して

$$ \begin{cases} 0 = -2(\alpha + \beta) \\ -2a = (\alpha + \beta)^2 + 2\alpha \beta \\ b - m = -2\alpha \beta(\alpha + \beta) \\ -n = \alpha^2 \beta^2 \end{cases} $$

第1式より $\beta = -\alpha$ である。これを第2式に代入すると

$$ -2a = 2\alpha(-\alpha) = -2\alpha^2 $$

$$ \alpha^2 = a $$

$\alpha, \beta$ は異なる実数であるため、$\alpha \neq 0$ であり、$a > 0$ となる。接点の $x$ 座標は $\alpha, \beta$ であるから、$x = \pm \sqrt{a}$ である。

(3)

二重接線の式を $y = g(x)$ とすると、(2) より $f(x) - g(x) = (x - \alpha)^2 (x - \beta)^2$ である。面積 $S$ を求める定積分は、$\frac{1}{30}$ 公式を利用して次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} S &= \int_{\alpha}^{\beta} \{ f(x) - g(x) \} dx \\ &= \int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)^2 (x - \beta)^2 dx \\ &= \frac{(\beta - \alpha)^5}{30} \end{aligned} $$

ここで $\alpha = -\sqrt{a}, \beta = \sqrt{a}$ を代入すると

$$ \begin{aligned} S &= \frac{ (\sqrt{a} - (-\sqrt{a}))^5 }{30} \\ &= \frac{ (2\sqrt{a})^5 }{30} \\ &= \frac{32a^2\sqrt{a}}{30} \\ &= \frac{16}{15}a^2\sqrt{a} \end{aligned} $$

解説

4次関数のグラフにおける「二重接線（異なる2点で接する直線）」に関する典型的な問題である。 (1) から順に解き進めることで、接線の方程式から得られる因数分解を利用して自然に二重接線の条件を導出できる（解法1）。一方で、(2) 以降のように「初めから二重接線が存在すると仮定して恒等式を立てる」手法（解法2）も、4次関数の問題では非常に有効である。係数比較によって接点の座標が素早く求まる。 (3) の面積計算においては、$(x^2 - a)^2$ を展開して普通に積分しても容易に計算できるが、$\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)^2 (x - \beta)^2 dx = \frac{(\beta - \alpha)^5}{30}$ の公式を知っていると、計算の手間を省くことができる。