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北海道大学 1983年文系第4問解説

方針・初手

放物線 $y = 1 + 2kx - 3k^2x^2$ が定点 $C(0, 1)$ を必ず通ることに着目します。正方形の面積は $1 \times 1 = 1$ であるため、放物線によって切り取られる図形の一方の面積が $\frac{1}{2}$ となる条件を立式します。

$k$ の符号や、放物線が正方形の各辺（$y=1$、$x=1$、$x$ 軸）と交わる位置によって図形の形状が変わるため、丁寧な場合分けが必要です。

解法1

$f(x) = 1 + 2kx - 3k^2x^2$ とおく。 $f(0) = 1$ より、放物線は正方形の頂点 $C(0, 1)$ を常に通る。 $k = 0$ のとき、$f(x) = 1$ となり、正方形を面積の等しい2つの部分に分けないため $k \neq 0$ である。 $f(x) = 0$ を解くと、$3k^2x^2 - 2kx - 1 = 0$ より $(3kx + 1)(kx - 1) = 0$ となり、$x = \frac{1}{k}, -\frac{1}{3k}$ である。

(i) $k > 0$ の場合

$f(x) = 0$ の正の解は $x = \frac{1}{k}$ である。 $f(x) = 1$ となる $x$ は、$2kx - 3k^2x^2 = 0$ より $x(2k - 3k^2x) = 0$ となり、$x = 0, \frac{2}{3k}$ である。放物線は上に凸であり、$x \in \left( 0, \frac{2}{3k} \right)$ において $y > 1$ となる。正方形が放物線によって分割されるためには、放物線が正方形の内部を通過しなければならない。

$\frac{1}{k} \le 1$ すなわち $k \ge 1$ のとき、放物線は上辺 $y=1$ の $x = \frac{2}{3k}$ （$<1$）で正方形の内部に入り、下辺 $y=0$ の $x = \frac{1}{k}$ で外に出る。正方形を分ける放物線の下側の領域の面積を $S$ とすると、

$$ S = \int_{0}^{\frac{2}{3k}} 1 \, dx + \int_{\frac{2}{3k}}^{\frac{1}{k}} f(x) \, dx $$

となる。これを計算すると、

$$ \begin{aligned} S &= \frac{2}{3k} + \left[ x + kx^2 - k^2x^3 \right]_{\frac{2}{3k}}^{\frac{1}{k}} \\ &= \frac{2}{3k} + \left( \frac{1}{k} + \frac{1}{k} - \frac{1}{k} \right) - \left( \frac{2}{3k} + k \cdot \frac{4}{9k^2} - k^2 \cdot \frac{8}{27k^3} \right) \\ &= \frac{2}{3k} + \frac{1}{k} - \left( \frac{2}{3k} + \frac{4}{9k} - \frac{8}{27k} \right) \\ &= \frac{1}{k} - \frac{4}{27k} = \frac{23}{27k} \end{aligned} $$

$S = \frac{1}{2}$ より $\frac{23}{27k} = \frac{1}{2}$ となり、$k = \frac{46}{27}$ を得る。これは $k \ge 1$ を満たす。

一方、$0 < k < 1$ のときは、放物線は右辺 $x=1$ において $y > 0$ を満たす。 $\frac{2}{3k} \ge 1$ すなわち $0 < k \le \frac{2}{3}$ のときは、区間 $0 \le x \le 1$ において常に $f(x) \ge 1$ となり、正方形を分断しないため不適。 $\frac{2}{3} < k < 1$ のときは、面積 $S$ は次のように表される。

$$ S = \int_{0}^{\frac{2}{3k}} 1 \, dx + \int_{\frac{2}{3k}}^{1} f(x) \, dx = 1 + k - k^2 - \frac{4}{27k} $$

$S = \frac{1}{2}$ とすると、$54k^3 - 54k^2 - 27k + 8 = 0$ となる。 $g(k) = 54k^3 - 54k^2 - 27k + 8$ とおくと、$g'(k) = 27(6k^2 - 4k - 1)$ であり、極小値をとる $k$ は区間内にある。 $g\left(\frac{2}{3}\right) = -18$、$g(1) = -19$ であり、区間 $\frac{2}{3} < k < 1$ において $g(k) < 0$ となるため、この範囲に実数解は存在しない。

(ii) $k < 0$ の場合

$f(x) = 0$ の正の解は $x = -\frac{1}{3k}$ である。 $f'(x) = 2k - 6k^2x < 0$ （$x \ge 0$）より、放物線は $x \ge 0$ で単調減少する。

$-\frac{1}{3k} \le 1$ すなわち $k \le -\frac{1}{3}$ のとき、放物線は左辺の $(0,1)$ から下辺へ向かって抜ける。放物線の下側の面積を $S$ とすると、

$$ \begin{aligned} S &= \int_{0}^{-\frac{1}{3k}} (1 + 2kx - 3k^2x^2) \, dx \\ &= \left[ x + kx^2 - k^2x^3 \right]_{0}^{-\frac{1}{3k}} \\ &= -\frac{1}{3k} + k \cdot \frac{1}{9k^2} - k^2 \cdot \left( -\frac{1}{27k^3} \right) \\ &= -\frac{1}{3k} + \frac{1}{9k} + \frac{1}{27k} = -\frac{5}{27k} \end{aligned} $$

$S = \frac{1}{2}$ より $-\frac{5}{27k} = \frac{1}{2}$ となり、$k = -\frac{10}{27}$ を得る。これは $k \le -\frac{1}{3}$ を満たす。

一方、$-\frac{1}{3k} > 1$ すなわち $-\frac{1}{3} < k < 0$ のとき、放物線は右辺 $x=1$ で正方形の外に出る。

$$ S = \int_{0}^{1} f(x) \, dx = 1 + k - k^2 $$

$S = \frac{1}{2}$ より $2k^2 - 2k - 1 = 0$ となる。$k < 0$ より $k = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$。しかし、$\frac{1 - \sqrt{3}}{2} < -\frac{1}{3}$ であり、この範囲を満たさないため不適。

以上より、条件を満たす $k$ の値は $k = \frac{46}{27}, -\frac{10}{27}$ である。