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北海道大学 1971年文系第6問解説

方針・初手

(1) 積分変数は $t$ であり、$x$ は定数として扱う。積分区間 $0 \leqq t \leqq 2$ において $t \geqq 0$ であるから、絶対値記号の中身は $|t(t-x)| = t|t-x|$ と整理できる。$x$ と $t$ の大小関係によって $|t-x|$ の符号が変わるため、積分区間を $0 \leqq t \leqq x$ と $x \leqq t \leqq 2$ に分割して計算する。

(2) そのまま計算すると複雑になるため、$u = x+1$ と置換して積分区間を平行移動させる。これにより求める定積分は $\int_0^3 f(u) du$ となり、(1) の結果を利用できる形に近づく。ただし、(1) で求めた $f(u)$ は $0 \leqq u \leqq 2$ の範囲であるため、$2 \leqq u \leqq 3$ における $f(u)$ を別途求める必要がある。

解法1

(1)

積分区間 $0 \leqq t \leqq 2$ において $t \geqq 0$ であるから、与えられた関数は次のように変形できる。

$$ f(x) = \int_0^2 t|t-x| dt $$

$0 \leqq x \leqq 2$ のとき、積分区間 $0 \leqq t \leqq 2$ を $t$ と $x$ の大小関係で $0 \leqq t \leqq x$ と $x \leqq t \leqq 2$ に分割する。

$0 \leqq t \leqq x$ のとき $t-x \leqq 0$ より $|t-x| = -(t-x)$ であり、$x \leqq t \leqq 2$ のとき $t-x \geqq 0$ より $|t-x| = t-x$ となる。

したがって、定積分を分割して計算する。

$$ \begin{aligned} f(x) &= \int_0^x t \cdot \{-(t-x)\} dt + \int_x^2 t(t-x) dt \\ &= \int_0^x (xt - t^2) dt + \int_x^2 (t^2 - xt) dt \\ &= \left[ \frac{1}{2}xt^2 - \frac{1}{3}t^3 \right]_0^x + \left[ \frac{1}{3}t^3 - \frac{1}{2}xt^2 \right]_x^2 \\ &= \left( \frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{3}x^3 \right) - 0 + \left( \frac{8}{3} - 2x \right) - \left( \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^3 \right) \\ &= \frac{1}{6}x^3 + \frac{8}{3} - 2x + \frac{1}{6}x^3 \\ &= \frac{1}{3}x^3 - 2x + \frac{8}{3} \end{aligned} $$

(2)

$\int_{-1}^2 f(x+1) dx$ において、$u = x+1$ とおく。

$du = dx$ であり、$x$ が $-1$ から $2$ まで変化するとき、$u$ は $0$ から $3$ まで変化する。

$$ \int_{-1}^2 f(x+1) dx = \int_0^3 f(u) du $$

この定積分を計算するためには区間 $0 \leqq u \leqq 3$ における $f(u)$ が必要となる。(1) より $0 \leqq u \leqq 2$ のときの $f(u)$ は求まっているため、積分区間を $0 \leqq u \leqq 2$ と $2 \leqq u \leqq 3$ に分割する。

$$ \int_0^3 f(u) du = \int_0^2 f(u) du + \int_2^3 f(u) du $$

次に、$2 \leqq u \leqq 3$ のときの $f(u)$ を求める。このとき、積分区間 $0 \leqq t \leqq 2$ において常に $t \leqq 2 \leqq u$、すなわち $t-u \leqq 0$ となるため、$|t-u| = -(t-u)$ と絶対値を外すことができる。

$$ \begin{aligned} f(u) &= \int_0^2 t|t-u| dt \\ &= \int_0^2 t \cdot \{-(t-u)\} dt \\ &= \int_0^2 (ut - t^2) dt \\ &= \left[ \frac{1}{2}ut^2 - \frac{1}{3}t^3 \right]_0^2 \\ &= 2u - \frac{8}{3} \end{aligned} $$

これと (1) の結果を用いて、定積分を計算する。

$$ \begin{aligned} \int_0^3 f(u) du &= \int_0^2 \left( \frac{1}{3}u^3 - 2u + \frac{8}{3} \right) du + \int_2^3 \left( 2u - \frac{8}{3} \right) du \\ &= \left[ \frac{1}{12}u^4 - u^2 + \frac{8}{3}u \right]_0^2 + \left[ u^2 - \frac{8}{3}u \right]_2^3 \\ &= \left( \frac{16}{12} - 4 + \frac{16}{3} \right) - 0 + \left( 9 - 8 \right) - \left( 4 - \frac{16}{3} \right) \\ &= \left( \frac{4}{3} - 4 + \frac{16}{3} \right) + 1 - \left( -\frac{4}{3} \right) \\ &= \left( \frac{20}{3} - \frac{12}{3} \right) + 1 + \frac{4}{3} \\ &= \frac{8}{3} + \frac{7}{3} \\ &= 5 \end{aligned} $$

解説

絶対値を含む定積分の典型問題である。絶対値を外すためには、絶対値の中身の正負が切り替わる境界を見極める必要がある。(1) では積分変数 $t$ に対して定数として振る舞う $x$ が積分区間内に存在するため、途中で場合分けをして積分を分割する。(2) では置換積分を用いて積分区間をずらす発想が有効である。そのまま $f(x+1)$ を計算しようとすると式が煩雑になり、計算ミスの原因となる。また、積分区間がはみ出す部分について、改めて定義に従って $f(u)$ を計算し直す必要がある点も重要である。