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北海道大学 1994年文系第4問解説

方針・初手

2つの3次曲線の上下関係を把握するために、それぞれの式の差をとって交点の $x$ 座標を求めます。交点が $x = 0, a, 2$ と求まり、条件 $0 < a < 2$ から積分区間が確定します。各区間における上下関係に応じて定積分を計算し、面積 $S$ を $a$ の関数として立式します。その後、$S$ を $a$ で微分して増減表をかき、最小値を求めます。

解法1

(1) 与えられた2つの曲線の式をそれぞれ $f(x), g(x)$ とおく。

$$ f(x) = ax^3 - (2a+1)x^2 + ax + 1 $$

$$ g(x) = (a-2)x^3 + 3x^2 - 3ax + 1 $$

2曲線の交点の $x$ 座標を求めるため、$f(x) - g(x) = 0$ を考える。

$$ \begin{aligned} f(x) - g(x) &= \{ ax^3 - (2a+1)x^2 + ax + 1 \} - \{ (a-2)x^3 + 3x^2 - 3ax + 1 \} \\ &= 2x^3 - 2(a+2)x^2 + 4ax \\ &= 2x \{ x^2 - (a+2)x + 2a \} \\ &= 2x(x-2)(x-a) \end{aligned} $$

交点の $x$ 座標は $x = 0, a, 2$ である。問題の条件より $0 < a < 2$ であるから、これらは $0 < a < 2$ の順に並ぶ。

$0 \leqq x \leqq a$ のとき、$x \geqq 0$, $x-a \leqq 0$, $x-2 \leqq 0$ であるから、$f(x) - g(x) \geqq 0$ となり、曲線 $y = f(x)$ は曲線 $y = g(x)$ の上側にある。

$a \leqq x \leqq 2$ のとき、$x \geqq 0$, $x-a \geqq 0$, $x-2 \leqq 0$ であるから、$f(x) - g(x) \leqq 0$ となり、曲線 $y = g(x)$ は曲線 $y = f(x)$ の上側にある。

したがって、求める面積 $S$ は次の定積分で表される。

$$ S = \int_0^a \{ f(x) - g(x) \} dx + \int_a^2 \{ g(x) - f(x) \} dx $$

ここで、被積分関数の不定積分の1つを $F(x)$ とおく。

$$ \begin{aligned} F(x) &= \int \{ f(x) - g(x) \} dx \\ &= \int \{ 2x^3 - 2(a+2)x^2 + 4ax \} dx \\ &= \frac{1}{2}x^4 - \frac{2(a+2)}{3}x^3 + 2ax^2 \end{aligned} $$

$x = 0, a, 2$ をそれぞれ代入すると、

$$ F(0) = 0 $$

$$ \begin{aligned} F(a) &= \frac{1}{2}a^4 - \frac{2(a+2)}{3}a^3 + 2a^3 \\ &= \frac{1}{2}a^4 - \frac{2}{3}a^4 - \frac{4}{3}a^3 + 2a^3 \\ &= -\frac{1}{6}a^4 + \frac{2}{3}a^3 \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} F(2) &= \frac{1}{2} \cdot 16 - \frac{2(a+2)}{3} \cdot 8 + 2a \cdot 4 \\ &= 8 - \frac{16}{3}a - \frac{32}{3} + 8a \\ &= \frac{8}{3}a - \frac{8}{3} \end{aligned} $$

これらを用いて $S$ を計算すると、

$$ \begin{aligned} S &= [ F(x) ]_0^a - [ F(x) ]_a^2 \\ &= ( F(a) - F(0) ) - ( F(2) - F(a) ) \\ &= 2F(a) - F(2) \\ &= 2 \left( -\frac{1}{6}a^4 + \frac{2}{3}a^3 \right) - \left( \frac{8}{3}a - \frac{8}{3} \right) \\ &= -\frac{1}{3}a^4 + \frac{4}{3}a^3 - \frac{8}{3}a + \frac{8}{3} \end{aligned} $$

(2) (1)で求めた $S$ を $a$ の関数とみなし、$S(a)$ とおく。これを $a$ について微分する。

$$ \begin{aligned} S'(a) &= -\frac{4}{3}a^3 + 4a^2 - \frac{8}{3} \\ &= -\frac{4}{3} (a^3 - 3a^2 + 2) \\ &= -\frac{4}{3} (a-1)(a^2 - 2a - 2) \end{aligned} $$

ここで、$0 < a < 2$ の範囲において、

$$ a^2 - 2a - 2 = (a-1)^2 - 3 $$

$-1 < a-1 < 1$ であるから $(a-1)^2 < 1$ となり、常に $(a-1)^2 - 3 < 0$ である。したがって、$0 < a < 2$ において $-\frac{4}{3} (a^2 - 2a - 2) > 0$ であり、$S'(a)$ の符号は $a-1$ の符号と一致する。

$S'(a) = 0$ となるのは $a = 1$ のときであり、$0 < a < 2$ における $S(a)$ の増減表は次のようになる。