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名古屋大学 1987年文系第1問解説

方針・初手

条件(ii)の定積分を計算して、$a$ と $b$ の関係式を導出する。次に、条件(i)から $f(x) \geqq 0$ が $0 \leqq x \leqq 1$ で常に成り立つための $a$ と $b$ の不等式を立式し、先ほどの関係式を用いて $b$ のとりうる値の範囲を求める。最後に、求める体積 $V$ を定積分で表して $b$ の関数に帰着させ、得られた $b$ の範囲における最大値と最小値を調べる。

解法1

関数 $f(x) = ax - bx^2$ について、条件(ii)より

$$\int_0^1 (ax - bx^2) dx = 1$$

$$\left[ \frac{a}{2}x^2 - \frac{b}{3}x^3 \right]_0^1 = 1$$

$$\frac{a}{2} - \frac{b}{3} = 1$$

これを $a$ について解くと、

$$a = 2 + \frac{2}{3}b \quad \cdots \text{①}$$

次に、条件(i)より、$0 \leqq x \leqq 1$ を満たすすべての $x$ に対して $f(x) \geqq 0$ となる。 $f(x)$ を因数分解すると

$$f(x) = x(a - bx)$$

となる。$0 \leqq x \leqq 1$ において $x \geqq 0$ であるから、$f(x) \geqq 0$ となるためには、同じ範囲で

$$a - bx \geqq 0$$

が成り立てばよい。関数 $y = a - bx$ は $b \geqq 0$ であるから右肩下がりの直線（または水平な直線）であり、$0 \leqq x \leqq 1$ における最小値は $x = 1$ のときにとる。したがって、$x = 1$ のとき $a - b \geqq 0$ となれば条件を満たすので、

$$a \geqq b \quad \cdots \text{②}$$

が成り立つ。①を②に代入して、

$$2 + \frac{2}{3}b \geqq b$$

$$\frac{1}{3}b \leqq 2$$

$$b \leqq 6$$

問題の条件より $b \geqq 0$ であるから、$b$ のとりうる値の範囲は

$$0 \leqq b \leqq 6 \quad \cdots \text{③}$$

求める立体の体積 $V$ は、

$$V = \pi \int_0^1 \{f(x)\}^2 dx$$

$$= \pi \int_0^1 (ax - bx^2)^2 dx$$

$$= \pi \int_0^1 (a^2x^2 - 2abx^3 + b^2x^4) dx$$

$$= \pi \left[ \frac{a^2}{3}x^3 - \frac{ab}{2}x^4 + \frac{b^2}{5}x^5 \right]_0^1$$

$$= \pi \left( \frac{a^2}{3} - \frac{ab}{2} + \frac{b^2}{5} \right)$$

これに①を代入して $b$ の関数として表すと、

$$V = \pi \left\{ \frac{1}{3}\left( 2 + \frac{2}{3}b \right)^2 - \frac{b}{2}\left( 2 + \frac{2}{3}b \right) + \frac{1}{5}b^2 \right\}$$

$$= \pi \left\{ \frac{1}{3}\left( 4 + \frac{8}{3}b + \frac{4}{9}b^2 \right) - \left( b + \frac{1}{3}b^2 \right) + \frac{1}{5}b^2 \right\}$$

$$= \pi \left( \frac{4}{3} + \frac{8}{9}b + \frac{4}{27}b^2 - b - \frac{1}{3}b^2 + \frac{1}{5}b^2 \right)$$

同類項をまとめると、

$$V = \pi \left\{ \left(\frac{4}{27} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right)b^2 + \left(\frac{8}{9} - 1\right)b + \frac{4}{3} \right\}$$

$$= \pi \left( \frac{2}{135}b^2 - \frac{1}{9}b + \frac{4}{3} \right)$$

平方完成を行って、最大値と最小値を調べる。

$$V = \pi \left\{ \frac{2}{135}\left(b^2 - \frac{15}{2}b\right) + \frac{4}{3} \right\}$$

$$= \pi \left\{ \frac{2}{135}\left(b - \frac{15}{4}\right)^2 - \frac{2}{135} \cdot \frac{225}{16} + \frac{4}{3} \right\}$$

$$= \pi \left\{ \frac{2}{135}\left(b - \frac{15}{4}\right)^2 - \frac{5}{24} + \frac{32}{24} \right\}$$

$$= \pi \left\{ \frac{2}{135}\left(b - \frac{15}{4}\right)^2 + \frac{9}{8} \right\}$$

ここで③より $0 \leqq b \leqq 6$ であり、放物線の軸 $b = \frac{15}{4}$ はこの範囲内にある。したがって、$V$ は $b = \frac{15}{4}$ のとき最小値 $\frac{9}{8}\pi$ をとる。

また、区間の両端における $V$ の値を比較すると、

$$b = 0 \text{ のとき } V = \frac{4}{3}\pi$$

$$b = 6 \text{ のとき } V = \pi \left( \frac{2}{135} \cdot 36 - \frac{1}{9} \cdot 6 + \frac{4}{3} \right) = \pi \left( \frac{8}{15} - \frac{2}{3} + \frac{4}{3} \right) = \frac{6}{5}\pi$$

$\frac{4}{3} = \frac{20}{15}$、$\frac{6}{5} = \frac{18}{15}$ より、$b = 0$ のときの方が値が大きい。したがって、$V$ は $b = 0$ のとき最大値 $\frac{4}{3}\pi$ をとる。

以上より、体積 $V$ のとりうる範囲が求められる。

解説

回転体の体積を計算する標準的な微分積分の問題である。2つの条件からパラメータ $a, b$ の関係式と定義域を正しく導出できるかが鍵となる。条件(i)の処理について、$f(x)$ のグラフが上に凸な放物線の一部であることを利用し、頂点の位置で場合分けして $f(x)$ の最小値を調べることも可能であるが、$f(x) = x(a - bx)$ と因数分解し、$0 \leqq x \leqq 1$ において $a - bx \geqq 0$ となる条件を考える方が、直線 $y = a - bx$ の性質を利用できるため圧倒的に見通しが良い。体積計算における分数係数の計算ミスに注意しながら、丁寧に平方完成を進めることが求められる。