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東京工業大学 2009年理系第1問解説

方針・初手

放物線上の $2$ つの接点を文字でおき、接線の方程式から交点 $P$ の座標と直交条件を求める。その後、放物線と $2$ 本の接線で囲まれる図形の面積 $S$ を定積分で表し、直交条件を用いて $S$ を最小化する。積分計算では定型的な式変形を活用し、最終的に対称式の性質を用いて最小値を求めるのがスムーズな手順である。

解法1

放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ 上の $2$ つの接点 $A, B$ の $x$ 座標をそれぞれ $\alpha, \beta$ （$\alpha < \beta$）とする。

$y = \frac{1}{2}x^2$ について $y' = x$ であるから、点 $A\left(\alpha, \frac{1}{2}\alpha^2\right)$ における接線の方程式は、

$$ y - \frac{1}{2}\alpha^2 = \alpha(x - \alpha) $$

すなわち、

$$ y = \alpha x - \frac{1}{2}\alpha^2 $$

となる。同様に、点 $B\left(\beta, \frac{1}{2}\beta^2\right)$ における接線の方程式は、

$$ y = \beta x - \frac{1}{2}\beta^2 $$

となる。これら $2$ つの接線の交点 $P$ の $x$ 座標は、

$$ \alpha x - \frac{1}{2}\alpha^2 = \beta x - \frac{1}{2}\beta^2 $$

$$ (\alpha - \beta)x = \frac{1}{2}(\alpha^2 - \beta^2) $$

$\alpha < \beta$ より $\alpha \neq \beta$ であるから両辺を $\alpha - \beta$ で割って、

$$ x = \frac{\alpha + \beta}{2} $$

これを接線の方程式に代入して $y$ 座標を求めると、

$$ y = \alpha \cdot \frac{\alpha + \beta}{2} - \frac{1}{2}\alpha^2 = \frac{\alpha^2 + \alpha\beta - \alpha^2}{2} = \frac{\alpha\beta}{2} $$

よって、点 $P$ の座標は $\left(\frac{\alpha + \beta}{2}, \frac{\alpha\beta}{2}\right)$ である。

また、$2$ 本の接線 $PA, PB$ は直交するので、それぞれの傾きの積は $-1$ である。ゆえに、

$$ \alpha\beta = -1 $$

が成り立つ。

次に、面積 $S$ を求める。$S$ は放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ と $2$ 本の接線で囲まれる部分の面積であり、積分区間を交点 $P$ の $x$ 座標である $\frac{\alpha + \beta}{2}$ で分割して計算する。

$$ \begin{aligned} S &= \int_{\alpha}^{\frac{\alpha+\beta}{2}} \left\{ \frac{1}{2}x^2 - \left(\alpha x - \frac{1}{2}\alpha^2\right) \right\} dx + \int_{\frac{\alpha+\beta}{2}}^{\beta} \left\{ \frac{1}{2}x^2 - \left(\beta x - \frac{1}{2}\beta^2\right) \right\} dx \\ &= \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\frac{\alpha+\beta}{2}} (x - \alpha)^2 dx + \frac{1}{2} \int_{\frac{\alpha+\beta}{2}}^{\beta} (x - \beta)^2 dx \\ &= \frac{1}{2} \left[ \frac{(x - \alpha)^3}{3} \right]_{\alpha}^{\frac{\alpha+\beta}{2}} + \frac{1}{2} \left[ \frac{(x - \beta)^3}{3} \right]_{\frac{\alpha+\beta}{2}}^{\beta} \\ &= \frac{1}{6} \left( \frac{\beta - \alpha}{2} \right)^3 - \frac{1}{6} \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)^3 \\ &= \frac{1}{48}(\beta - \alpha)^3 + \frac{1}{48}(\beta - \alpha)^3 \\ &= \frac{1}{24}(\beta - \alpha)^3 \end{aligned} $$

ここで、直交条件 $\alpha\beta = -1$ を用いて $(\beta - \alpha)^2$ を変形する。

$$ (\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = (\alpha + \beta)^2 + 4 $$

実数の２乗は $0$ 以上であるから $(\alpha + \beta)^2 \geqq 0$ であり、$(\beta - \alpha)^2$ は $\alpha + \beta = 0$ のとき最小値 $4$ をとる。 $\beta - \alpha > 0$ であるため、$\beta - \alpha$ もこのとき最小値 $\sqrt{4} = 2$ をとる。

したがって、$S$ の最小値は、

$$ S = \frac{1}{24} \cdot 2^3 = \frac{1}{3} $$

となる。なお、$\alpha + \beta = 0$ かつ $\alpha\beta = -1$ を満たす実数 $\alpha, \beta$ は $-1$ と $1$ であり、条件を満たす接点 $A, B$ は確実に存在する。

解説

放物線の $2$ つの接線と放物線で囲まれる面積は、接点の $x$ 座標の差の $3$ 乗に比例するという有名事実をテーマにした問題である。一般に、放物線 $y = ax^2$ に対しては、本問と同様の図形の面積は $S = \frac{|a|}{12}(\beta - \alpha)^3$ となることが知られている（本問では $a = \frac{1}{2}$ なので係数が $\frac{1}{24}$ になっている）。面積を式で表した後は、直交条件 $\alpha\beta = -1$ を対称式を用いて処理し、最小値を求めるという計算の流れも頻出である。