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大阪大学 1961年文系第6問解説

方針・初手

曲線 $y = ax^2 + bx$ が点 $(1, 1)$ を通るという条件から、$b$ を $a$ の式で表す。次に、2つの曲線の交点の $x$ 座標を求め、定積分を用いて囲む部分の面積 $S$ を $a$ の式で表す。計算を容易にするため、いわゆる「$\frac{1}{6}$ 公式」を利用し、面積の式を簡単にした後に微分を用いて最小値を求める。

解法1

曲線 $y = ax^2 + bx$ が点 $(1, 1)$ を通るから、

$$ 1 = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 $$

$$ b = 1 - a $$

が成り立つ。これを曲線の式に代入すると、 $y = ax^2 + (1-a)x$ となる。

次に、この曲線と曲線 $y = x^2 - 2$ の交点の $x$ 座標を求める。2式から $y$ を消去すると、

$$ ax^2 + (1-a)x = x^2 - 2 $$

$$ (1-a)x^2 - (1-a)x - 2 = 0 $$

$a < 0$ より $1-a > 0$ である。この $x$ についての2次方程式の判別式を $D$ とすると、

$$ \begin{aligned} D &= \{-(1-a)\}^2 - 4(1-a)(-2) \\ &= (1-a)^2 + 8(1-a) \\ &= (1-a)(9-a) \end{aligned} $$

$a < 0$ のとき $1-a > 0$ かつ $9-a > 0$ であるから、$D > 0$ となる。したがって、2つの曲線は異なる2点で交わる。この2交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta \ (\alpha < \beta)$ とおくと、解と係数の関係より、

$$ \alpha + \beta = 1, \quad \alpha\beta = -\frac{2}{1-a} $$

が成り立つ。よって、$(\beta - \alpha)^2$ は次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} (\beta - \alpha)^2 &= (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta \\ &= 1^2 - 4\left(-\frac{2}{1-a}\right) \\ &= 1 + \frac{8}{1-a} \\ &= \frac{9-a}{1-a} \end{aligned} $$

$\beta - \alpha > 0$ より、

$$ \beta - \alpha = \sqrt{\frac{9-a}{1-a}} $$

区間 $\alpha \leqq x \leqq \beta$ において、 $a < 0$ のとき上に凸の放物線 $y = ax^2 + bx$ が下に凸の放物線 $y = x^2 - 2$ の上側にある。したがって、求める面積を $S$ とすると、

$$ \begin{aligned} S &= \int_{\alpha}^{\beta} \{ (ax^2 + bx) - (x^2 - 2) \} dx \\ &= \int_{\alpha}^{\beta} \{ -(1-a)x^2 + (1-a)x + 2 \} dx \\ &= -(1-a) \int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) dx \\ &= -(1-a) \left\{ -\frac{1}{6} (\beta - \alpha)^3 \right\} \\ &= \frac{1-a}{6} (\beta - \alpha)^3 \end{aligned} $$

ここに $\beta - \alpha$ の式を代入すると、

$$ \begin{aligned} S &= \frac{1-a}{6} \left( \sqrt{\frac{9-a}{1-a}} \right)^3 \\ &= \frac{1-a}{6} \frac{(9-a)\sqrt{9-a}}{(1-a)\sqrt{1-a}} \\ &= \frac{1}{6} \sqrt{ \frac{(9-a)^3}{1-a} } \end{aligned} $$

$S > 0$ であるから、$S$ が最小となるとき、根号の中身である $f(a) = \frac{(9-a)^3}{1-a}$ も最小となる。$a < 0$ における $f(a)$ の増減を調べる。

$$ \begin{aligned} f'(a) &= \frac{3(9-a)^2 \cdot (-1) \cdot (1-a) - (9-a)^3 \cdot (-1)}{(1-a)^2} \\ &= \frac{(9-a)^2 \{ -3(1-a) + (9-a) \}}{(1-a)^2} \\ &= \frac{(9-a)^2 (2a + 6)}{(1-a)^2} \\ &= \frac{2(a+3)(9-a)^2}{(1-a)^2} \end{aligned} $$

$a < 0$ において $f'(a) = 0$ となるのは $a = -3$ のときである。増減表は以下のようになる。

$a$	$\cdots$	$-3$	$\cdots$	$(0)$
$f'(a)$	$-$	$0$	$+$
$f(a)$	$\searrow$	極小	$\nearrow$

増減表より、$f(a)$ は $a = -3$ のとき最小値をとる。したがって、$S$ も $a = -3$ のとき最小となる。このとき、

$$ b = 1 - (-3) = 4 $$

となる。

解説

放物線同士が囲む面積の最小化を扱う典型問題である。交点の $x$ 座標を文字 $\alpha, \beta$ で置き、「$\frac{1}{6}$ 公式」を適用することで積分計算を簡略化する手法が極めて有効である。また、面積 $S$ の式にルートが含まれる場合、そのまま微分すると計算が煩雑になるため、ルートの中身（あるいは $S^2$ ）を新たな関数とおいて最小値を求めるのが定石である。