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北海道大学 2000年文系第4問解説

方針・初手

(1) は $x=a$ における接線の方程式を求め、$y=f(x)$ と連立させた3次方程式が $x=a$ で重解をもつことを利用する。因数定理を用いた恒等式、または解と係数の関係を用いると計算が簡略化できる。
(2) は $x=c$ における接線の方程式を求め、それが点 $P(a, f(a))$ を通るという条件を立式する。
(3) は (1), (2) で得られた $b, c$ の式を、因数分解した形の式に代入して整理する。

解法1

(1)

$f(x) = x^3 + px^2 + qx$ より、$f'(x) = 3x^2 + 2px + q$ である。

点 $P(a, f(a))$ における接線の方程式は $$ y - f(a) = f'(a)(x - a) $$ $$ y = f'(a)(x - a) + f(a) $$ となる。

曲線 $y = f(x)$ とこの接線の交点の $x$ 座標は、方程式 $$ f(x) = f'(a)(x - a) + f(a) $$ $$ f(x) - f'(a)(x - a) - f(a) = 0 $$ の解である。

この方程式は $x=a$ を重解にもち、もう一つの解が $x=b$ であるから、左辺は $(x-a)^2(x-b)$ と因数分解される。 $f(x)$ の $x^3$ の係数が $1$ であることに注意すると、次の恒等式が成り立つ。 $$ x^3 + px^2 + qx - f'(a)(x - a) - f(a) = (x-a)^2(x-b) $$

両辺の $x^2$ の係数を比較する。左辺の $x^2$ の係数は $p$ であり、右辺を展開したときの $x^2$ の係数は $-2a-b$ であるから、 $$ p = -2a - b $$ $$ b = -2a - p $$

(2)

$x=c$ における接線の方程式は、 $$ y - f(c) = f'(c)(x - c) $$

これが点 $P(a, f(a))$ を通るので、 $$ f(a) - f(c) = f'(c)(a - c) $$ が成り立つ。$f(x)$ と $f'(x)$ の式を代入すると、 $$ (a^3 + pa^2 + qa) - (c^3 + pc^2 + qc) = (3c^2 + 2pc + q)(a - c) $$

左辺を因数分解しやすいように項をまとめると、 $$ (a^3 - c^3) + p(a^2 - c^2) + q(a - c) = (3c^2 + 2pc + q)(a - c) $$ $$ (a - c)(a^2 + ac + c^2) + p(a - c)(a + c) + q(a - c) = (3c^2 + 2pc + q)(a - c) $$

$c \neq a$ より $a - c \neq 0$ であるから、両辺を $a - c$ で割ると、 $$ a^2 + ac + c^2 + p(a + c) + q = 3c^2 + 2pc + q $$

整理して、 $$ 2c^2 + (p - a)c - a^2 - pa = 0 $$

この左辺は、条件式が $c=a$ のときも成り立つことから $(c - a)$ を因数にもつと分かる。因数分解すると、 $$ (c - a)(2c + a + p) = 0 $$

$c \neq a$ より $c - a \neq 0$ であるから、 $$ 2c + a + p = 0 $$ $$ c = \frac{-a-p}{2} $$

(3)

$f'(x) = 3x^2 + 2px + q$ より、式の分子と分母をそれぞれ計算する。

分子は、 $$ \begin{aligned} f'(b) - f'(a) &= (3b^2 + 2pb + q) - (3a^2 + 2pa + q) \\ &= 3(b^2 - a^2) + 2p(b - a) \\ &= (b - a)\{3(b + a) + 2p\} \end{aligned} $$

分母は、 $$ \begin{aligned} f'(a) - f'(c) &= (3a^2 + 2pa + q) - (3c^2 + 2pc + q) \\ &= 3(a^2 - c^2) + 2p(a - c) \\ &= (a - c)\{3(a + c) + 2p\} \end{aligned} $$

ここで、(1), (2) の結果より $b = -2a - p$, $c = \frac{-a-p}{2}$ を代入する。

分子の各因数は、 $$ b - a = (-2a - p) - a = -3a - p $$ $$ 3(b + a) + 2p = 3(-2a - p + a) + 2p = 3(-a - p) + 2p = -3a - p $$ よって、 $$ f'(b) - f'(a) = (-3a - p)^2 = (3a + p)^2 $$

分母の各因数は、 $$ a - c = a - \frac{-a-p}{2} = \frac{3a + p}{2} $$ $$ 3(a + c) + 2p = 3\left(a + \frac{-a-p}{2}\right) + 2p = 3\left(\frac{a-p}{2}\right) + 2p = \frac{3a - 3p + 4p}{2} = \frac{3a + p}{2} $$ よって、 $$ f'(a) - f'(c) = \frac{3a + p}{2} \cdot \frac{3a + p}{2} = \frac{(3a + p)^2}{4} $$

問題文より点 $P$ と点 $Q$ は異なる点であるため $b \neq a$ であり、したがって $-2a - p \neq a$ より $3a + p \neq 0$ である。よって、求める値は $$ \frac{f'(b) - f'(a)}{f'(a) - f'(c)} = \frac{(3a + p)^2}{\frac{(3a + p)^2}{4}} = 4 $$

解法2

(1)

方程式 $f(x) - f'(a)(x-a) - f(a) = 0$ は $x=a$ を重解にもち、他の解が $x=b$ である3次方程式である。展開して整理したときの3次方程式は、 $$ x^3 + px^2 + (q - f'(a))x + f'(a)a - f(a) = 0 $$ となる。

3次方程式の解と係数の関係より、3つの解 $a, a, b$ の和は $x^2$ の係数に $-1$ をかけたものに等しいから、 $$ a + a + b = -p $$ $$ b = -2a - p $$

解説

(1) で接線と曲線の交点を求める際、まともに3次方程式を解こうとすると計算が煩雑になります。「$x=a$ で接する」ことと同値である「方程式が $(x-a)^2$ を因数にもつ」という性質を利用し、恒等式の係数比較や解と係数の関係を用いるのが典型的な工夫です。
(2) では、得られた $c$ についての2次方程式 $2c^2 + (p-a)c - a^2 - pa = 0$ の因数分解に迷うかもしれませんが、「元の条件式 $f(a) - f(c) = f'(c)(a - c)$ は $c=a$ のときも必ず成り立つ」という事実から、左辺の式が必ず $(c-a)$ で括れることが予測できます。
(3) は、式をすべて展開してから代入するのではなく、因数分解された形を維持しながら $b, c$ を代入することで計算ミスを大きく減らすことができます。