トップ› 北海道大学› 2014年› 理系第1問

北海道大学 2014年理系第1問解説

方針・初手

(1)は、関数の増減を調べる基本的な問題である。導関数 $f'(x)$ を求め、増減表を作成して極値を調べる。

(2)は、4次関数のグラフにおける複接線（2点で接する直線）の方程式を求める問題である。求める接線を $y = mx + n$ とおく。曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = mx + n$ が $x = a$ と $x = b$ で接することから、関数 $f(x) - (mx + n)$ が $(x-a)^2(x-b)^2$ を因数にもつことを利用して恒等式を立てる。

解法1

(1) 与えられた関数は $f(x) = x^4 - 4x^3 - 8x^2$ である。これを $x$ について微分すると、

$$ f'(x) = 4x^3 - 12x^2 - 16x $$

となる。右辺を因数分解すると、

$$ \begin{aligned} f'(x) &= 4x(x^2 - 3x - 4) \\ &= 4x(x+1)(x-4) \end{aligned} $$

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値は $x = -1, 0, 4$ である。これをもとに $f(x)$ の増減表を作ると次のようになる。

$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$4$	$\cdots$
$f'(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\searrow$	$-3$	$\nearrow$	$0$	$\searrow$	$-128$	$\nearrow$

各極値をとるときの $f(x)$ の値を計算する。

$x = -1$ のとき、

$$ f(-1) = (-1)^4 - 4(-1)^3 - 8(-1)^2 = 1 + 4 - 8 = -3 $$

$x = 0$ のとき、

$$ f(0) = 0 $$

$x = 4$ のとき、

$$ f(4) = 4^4 - 4 \cdot 4^3 - 8 \cdot 4^2 = 256 - 256 - 128 = -128 $$

したがって、$f(x)$ は $x=0$ で極大値 $0$ をとり、$x=-1$ で極小値 $-3$、$x=4$ で極小値 $-128$ をとる。

(2) 曲線 $y = f(x)$ に2点 $(a, f(a))$ と $(b, f(b))$ で接する直線を $l$ とし、その方程式を $y = mx + n$ とおく。曲線 $y = f(x)$ と直線 $l$ は $x = a$ と $x = b$ で接するため、方程式 $f(x) = mx + n$ は $x = a$ と $x = b$ を重解にもつ。したがって、$f(x)$ の $x^4$ の係数が $1$ であることに注意すると、次の恒等式が成り立つ。

$$ x^4 - 4x^3 - 8x^2 - (mx + n) = (x-a)^2(x-b)^2 $$

この右辺を展開して整理する。

$$ \begin{aligned} (x-a)^2(x-b)^2 &= \{ (x-a)(x-b) \}^2 \\ &= \{ x^2 - (a+b)x + ab \}^2 \\ &= x^4 + (a+b)^2 x^2 + a^2 b^2 - 2(a+b)x^3 + 2abx^2 - 2ab(a+b)x \\ &= x^4 - 2(a+b)x^3 + \{ (a+b)^2 + 2ab \} x^2 - 2ab(a+b)x + a^2b^2 \end{aligned} $$

両辺の同じ次数の項の係数を比較すると、次の関係式が得られる。

$$ \begin{cases} -4 = -2(a+b) \\ -8 = (a+b)^2 + 2ab \\ -m = -2ab(a+b) \\ -n = a^2b^2 \end{cases} $$

第1式より、

$$ a+b = 2 $$

これを第2式に代入すると、

$$ -8 = 2^2 + 2ab $$

$$ 2ab = -12 $$

$$ ab = -6 $$

これらを第3式と第4式に代入して $m$ と $n$ を求める。

$$ -m = -2 \cdot (-6) \cdot 2 = 24 $$

$$ m = -24 $$

$$ -n = (-6)^2 = 36 $$

$$ n = -36 $$

ここで、$a, b$ は2次方程式 $t^2 - 2t - 6 = 0$ の解である。この2次方程式の判別式を $D$ とすると $\frac{D}{4} = 1 - (-6) = 7 > 0$ であるため、条件 $a < b$ を満たす異なる2つの実数 $a, b$ が確かに存在する。以上より、求める直線の方程式は $y = -24x - 36$ である。

解説

(1)は基本的な微分の計算問題である。導関数を正しく因数分解し、増減表の符号ミスに気をつける。

(2)は「複接線」と呼ばれる、4次関数のグラフにおける特徴的な接線を求める問題である。接点における微係数を用いて接線の方程式を2つ立て、それらが一致するという条件から係数比較を行う方法もあるが、計算が煩雑になりやすい。本解説で示したように、接するという条件を「差の関数が完全平方式の積 $(x-a)^2(x-b)^2$ を因数にもつ」と解釈して恒等式を立てる方法が、計算量を抑えられ見通しが良い。この解法は4次関数の複接線を求める際の定石である。また、最後に $a, b$ が実数として存在することの確認を忘れないようにしたい。