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北海道大学 2013年文系第4問解説

方針・初手

(1) では、放物線上の接点の $x$ 座標を文字でおき、その点における接線の方程式が点 $P$ を通るという条件から、接点の $x$ 座標に関する方程式を立てる。これが異なる2つの実数解をもつことを、判別式と微分の増減を用いて示す。

(2) では、(1) で得られた接点の $x$ 座標に関する2次方程式の解を $\alpha, \beta$ とおき、解と係数の関係を利用する。放物線と2本の接線で囲まれた面積は、定積分によって $\alpha, \beta$ の式として表せるため、それを $t$ の式に書き換える。

解法1

(1)

放物線 $y = x^2$ 上の点 $(k, k^2)$ における接線の方程式を求める。 $y' = 2x$ より、接線の傾きは $2k$ であるから、接線の方程式は

$$ y - k^2 = 2k(x - k) $$

すなわち

$$ y = 2kx - k^2 $$

となる。この接線が点 $P(t, t^3 - 8t^2 + 15t - 56)$ を通るための条件は、上の式に $x = t, y = t^3 - 8t^2 + 15t - 56$ を代入して

$$ t^3 - 8t^2 + 15t - 56 = 2kt - k^2 $$

$$ k^2 - 2tk + t^3 - 8t^2 + 15t - 56 = 0 $$

が成り立つことである。点 $P$ から放物線 $y = x^2$ に異なる2本の接線が引けることは、接点が2つ存在することと同値である。したがって、$k$ についての2次方程式が異なる2つの実数解をもつことを示せばよい。この2次方程式の判別式を $D$ とすると

$$ \begin{aligned} \frac{D}{4} &= (-t)^2 - (t^3 - 8t^2 + 15t - 56) \\ &= -t^3 + 9t^2 - 15t + 56 \end{aligned} $$

となる。ここで、$f(t) = -t^3 + 9t^2 - 15t + 56$ とおく。 $f(t)$ を $t$ について微分すると

$$ \begin{aligned} f'(t) &= -3t^2 + 18t - 15 \\ &= -3(t^2 - 6t + 5) \\ &= -3(t - 1)(t - 5) \end{aligned} $$

$f'(t) = 0$ となるのは $t = 1, 5$ のときである。 $0 \leqq t \leqq 8$ における $f(t)$ の増減表は次のようになる。

$t$	$0$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$5$	$\cdots$	$8$
$f'(t)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(t)$	$56$	$\searrow$	$49$	$\nearrow$	$81$	$\searrow$	$0$

表より、$0 \leqq t < 8$ の範囲において $f(t) > 0$ であることがわかる。したがって、常に $\frac{D}{4} > 0$ が成り立つため、方程式は異なる2つの実数解をもち、点 $P$ から放物線に2本の異なる接線が引けることが示された。

(2)

(1) の2次方程式の2つの実数解を $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) とすると、これらが接点 $Q, R$ の $x$ 座標となる。解と係数の関係より

$$ \begin{aligned} \alpha + \beta &= 2t \\ \alpha\beta &= t^3 - 8t^2 + 15t - 56 \end{aligned} $$

が成り立つ。2本の接線は点 $P$ で交わるため、交点の $x$ 座標は

$$ \frac{\alpha + \beta}{2} = t $$

である。求める面積 $S(t)$ は、放物線 $y = x^2$ と、2直線 $y = 2\alpha x - \alpha^2$ および $y = 2\beta x - \beta^2$ で囲まれた領域である。したがって

$$ \begin{aligned} S(t) &= \int_{\alpha}^{t} \{x^2 - (2\alpha x - \alpha^2)\} dx + \int_{t}^{\beta} \{x^2 - (2\beta x - \beta^2)\} dx \\ &= \int_{\alpha}^{t} (x - \alpha)^2 dx + \int_{t}^{\beta} (x - \beta)^2 dx \\ &= \left[ \frac{(x - \alpha)^3}{3} \right]_{\alpha}^{t} + \left[ \frac{(x - \beta)^3}{3} \right]_{t}^{\beta} \\ &= \frac{(t - \alpha)^3}{3} - \frac{(t - \beta)^3}{3} \end{aligned} $$

ここで、$t = \frac{\alpha + \beta}{2}$ より

$$ \begin{aligned} t - \alpha &= \frac{\beta - \alpha}{2} \\ t - \beta &= -\frac{\beta - \alpha}{2} \end{aligned} $$

であるから、これを代入して

$$ \begin{aligned} S(t) &= \frac{1}{3} \left( \frac{\beta - \alpha}{2} \right)^3 - \frac{1}{3} \left( -\frac{\beta - \alpha}{2} \right)^3 \\ &= \frac{(\beta - \alpha)^3}{24} + \frac{(\beta - \alpha)^3}{24} \\ &= \frac{(\beta - \alpha)^3}{12} \end{aligned} $$

を得る。次に、$(\beta - \alpha)^2$ を計算する。

$$ \begin{aligned} (\beta - \alpha)^2 &= (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta \\ &= (2t)^2 - 4(t^3 - 8t^2 + 15t - 56) \\ &= 4(-t^3 + 9t^2 - 15t + 56) \end{aligned} $$

(1) の結果より、$\alpha < \beta$ であり、また $-t^3 + 9t^2 - 15t + 56 > 0$ であるため

$$ \beta - \alpha = 2\sqrt{-t^3 + 9t^2 - 15t + 56} $$

となる。これを $S(t)$ に代入して

$$ \begin{aligned} S(t) &= \frac{1}{12} \left( 2\sqrt{-t^3 + 9t^2 - 15t + 56} \right)^3 \\ &= \frac{8}{12} \left( \sqrt{-t^3 + 9t^2 - 15t + 56} \right)^3 \\ &= \frac{2}{3} (-t^3 + 9t^2 - 15t + 56)^{\frac{3}{2}} \end{aligned} $$

解説

放物線外の点から引いた接線の問題は、接点の座標を文字でおいて方程式を立てるのが基本方針である。接線が引ける本数は、対応する接点の方程式の実数解の個数に等しい。本問では判別式を調べるために3次関数の増減を求める必要があるが、微分積分の基本的な手順を踏めば解答に至る。

また、放物線と2本の接線で囲まれる面積は、接点の $x$ 座標の差のみで表現できる有名公式 $\frac{|a|}{12}(\beta - \alpha)^3$ の形になる。記述式の解答では本解答のように定積分を計算して見せることが望ましい。交点の $x$ 座標が接点の $x$ 座標の中点になる性質を用いると、定積分の計算を簡略化できる。