トップ› 北海道大学› 2011年› 文系第2問

北海道大学 2011年文系第2問解説

方針・初手

(1)は、放物線が指定された2点を通るという条件から、連立方程式を立てて係数 $b, c$ を決定する。

(2)は、2点における接線の方程式を導出し、それらを連立させて交点を求める。

(3)は、放物線と2本の接線で囲まれた図形の面積を定積分によって計算し、それが $1$ になるという方程式を解く。

解法1

(1)

放物線 $C: y = ax^2 + bx + c$ が点 $P(-1, 3)$ を通るから、

$$ a(-1)^2 + b(-1) + c = 3 $$

すなわち、

$$ a - b + c = 3 \quad \cdots \text{①} $$

放物線 $C$ が点 $Q(1, 4)$ を通るから、

$$ a(1)^2 + b(1) + c = 4 $$

すなわち、

$$ a + b + c = 4 \quad \cdots \text{②} $$

②式から①式を引くと、

$$ 2b = 1 $$

$$ b = \frac{1}{2} $$

これを②式に代入すると、

$$ a + \frac{1}{2} + c = 4 $$

$$ c = \frac{7}{2} - a $$

(2)

(1)より、放物線 $C$ の方程式は $y = ax^2 + \frac{1}{2}x + \frac{7}{2} - a$ である。

関数 $f(x) = ax^2 + \frac{1}{2}x + \frac{7}{2} - a$ とおくと、

$$ f'(x) = 2ax + \frac{1}{2} $$

点 $P(-1, 3)$ における接線 $l_1$ の方程式は、傾きが $f'(-1) = -2a + \frac{1}{2}$ であるから、

$$ y - 3 = \left(-2a + \frac{1}{2}\right)(x + 1) $$

$$ y = \left(-2a + \frac{1}{2}\right)x - 2a + \frac{7}{2} $$

点 $Q(1, 4)$ における接線 $l_2$ の方程式は、傾きが $f'(1) = 2a + \frac{1}{2}$ であるから、

$$ y - 4 = \left(2a + \frac{1}{2}\right)(x - 1) $$

$$ y = \left(2a + \frac{1}{2}\right)x - 2a + \frac{7}{2} $$

接線 $l_1$ と $l_2$ の交点の $x$ 座標は、これら2つの方程式を連立して、

$$ \left(-2a + \frac{1}{2}\right)x - 2a + \frac{7}{2} = \left(2a + \frac{1}{2}\right)x - 2a + \frac{7}{2} $$

$$ -4ax = 0 $$

$a$ は正の実数であるから $a \neq 0$ であり、$x = 0$ となる。

$x = 0$ を $l_2$ の方程式に代入すると、

$$ y = -2a + \frac{7}{2} $$

よって、交点の座標は $\left(0, -2a + \frac{7}{2}\right)$ である。

(3)

放物線 $C$ は $a > 0$ より下に凸であり、(2)より接線の交点の $x$ 座標は $0$ である。求める面積 $S$ は区間 $-1 \leqq x \leqq 0$ と $0 \leqq x \leqq 1$ に分けて積分することで得られる。

$$ \begin{aligned} S &= \int_{-1}^{0} \left\{ \left(ax^2 + \frac{1}{2}x + \frac{7}{2} - a\right) - \left( \left(-2a + \frac{1}{2}\right)x - 2a + \frac{7}{2} \right) \right\} dx \\ &\quad + \int_{0}^{1} \left\{ \left(ax^2 + \frac{1}{2}x + \frac{7}{2} - a\right) - \left( \left(2a + \frac{1}{2}\right)x - 2a + \frac{7}{2} \right) \right\} dx \end{aligned} $$

ここで、それぞれの被積分関数は接点において完全平方式となるため、$a(x+1)^2$ および $a(x-1)^2$ と整理できる。

$$ \begin{aligned} S &= \int_{-1}^{0} a(x+1)^2 dx + \int_{0}^{1} a(x-1)^2 dx \\ &= \left[ \frac{a}{3}(x+1)^3 \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{a}{3}(x-1)^3 \right]_{0}^{1} \\ &= \frac{a}{3}(1^3 - 0) + \frac{a}{3}(0 - (-1)^3) \\ &= \frac{a}{3} + \frac{a}{3} \\ &= \frac{2}{3}a \end{aligned} $$

問題の条件より面積 $S$ が $1$ に等しいから、

$$ \frac{2}{3}a = 1 $$

$$ a = \frac{3}{2} $$

これは「$a$ を正の実数」という条件を満たす。

解説

放物線と2本の接線で囲まれた図形の面積に関する典型問題である。

放物線 $y = ax^2 + \cdots$ 上の2点 $x=\alpha, \beta$ における接線の交点の $x$ 座標は常に中点の $\frac{\alpha+\beta}{2}$ となる性質を知っていれば、(2)の交点の $x$ 座標が $\frac{-1+1}{2} = 0$ になることの見通しが立てやすい。

さらに、放物線と2本の接線によって囲まれる面積 $S$ は、放物線と2接点を通る直線で囲まれる面積の半分、すなわち $\frac{|a|}{12}(\beta - \alpha)^3$ となる事実（いわゆる1/12公式）を用いることで、(3)の積分計算の最終結果が $\frac{a}{12}(1 - (-1))^3 = \frac{2}{3}a$ となることを速やかに検算できる。実際の答案作成時には本解のように定積分を記述することが望ましい。