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北海道大学 2015年文系第2問解説

方針・初手

(1) では、与えられた漸化式 $a_{n+1} = \frac{1}{p} a_n - (-1)^{n+1}$ から $b_{n+1}$ を $b_n$ で表すために、漸化式の両辺に $p^{n+1}$ を掛けて $p^k a_k$ の形を作り出します。 (2) では、(1) で得られた $b_n$ に関する漸化式が階差数列の形をしていることに着目し、$b_n$ の一般項を求めます。等比数列の和の公式を用いる際、公比が $1$ になる場合とそうでない場合、すなわち $p=-1$ と $p \neq -1$ で場合分けが必要になることに注意します。

解法1

(1)

与えられた漸化式は以下の通りです。

$$a_{n+1} = \frac{1}{p} a_n - (-1)^{n+1}$$

この両辺に $p^{n+1}$ を掛けます。

$$p^{n+1} a_{n+1} = p^{n+1} \cdot \frac{1}{p} a_n - p^{n+1} (-1)^{n+1}$$

$$p^{n+1} a_{n+1} = p^n a_n - (-p)^{n+1}$$

ここで、$b_n = p^n a_n$ とおくと、$b_{n+1} = p^{n+1} a_{n+1}$ となるため、上の式は次のように書き換えられます。

$$b_{n+1} = b_n - (-p)^{n+1}$$

(2)

(1) の結果より、数列 $\{b_n\}$ の階差数列の一般項が $-(-p)^{n+1}$ であることが分かります。ここで、$b_1 = p^1 a_1 = p \cdot 1 = p$ です。

階差数列の和を計算するにあたり、公比 $-p$ が $1$ となるかどうかで場合分けをします。

(i) $-p = 1$ すなわち $p = -1$ のとき

(1) で求めた漸化式は以下のようになります。

$$b_{n+1} = b_n - 1^{n+1}$$

$$b_{n+1} - b_n = -1$$

これは、数列 $\{b_n\}$ が初項 $b_1 = p = -1$、公差 $-1$ の等差数列であることを示しています。よって、$b_n$ の一般項は次のようになります。

$$b_n = -1 + (n-1) \cdot (-1) = -n$$

$a_n = \frac{b_n}{p^n}$ より、求める一般項 $a_n$ は、

$$a_n = \frac{-n}{(-1)^n} = -n(-1)^{-n} = -n(-1)^n$$

(ii) $-p \neq 1$ すなわち $p \neq -1$ のとき

$n \geqq 2$ のとき、$b_n$ は次のように求められます。

$$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \{-(-p)^{k+1}\}$$

$$b_n = p - \sum_{k=1}^{n-1} (-p)^2 \cdot (-p)^{k-1}$$

$$b_n = p - \frac{p^2 \{1 - (-p)^{n-1}\}}{1 - (-p)}$$

$$b_n = \frac{p(1+p) - p^2 + p^2(-p)^{n-1}}{1+p}$$

$$b_n = \frac{p + p^2 - p^2 - p(-p)^n}{1+p}$$

$$b_n = \frac{p \{1 - (-p)^n\}}{1+p}$$

この式において $n=1$ とすると、

$$\frac{p \{1 - (-p)^1\}}{1+p} = \frac{p(1+p)}{1+p} = p$$

となり、$b_1 = p$ と一致するため、$n=1$ のときも成り立ちます。 $a_n = \frac{b_n}{p^n}$ より、求める一般項 $a_n$ は、

$$a_n = \frac{p \{1 - (-p)^n\}}{p^n (1+p)}$$

$$a_n = \frac{1 - (-p)^n}{p^{n-1} (1+p)}$$

解説

漸化式 $a_{n+1} = p a_n + f(n)$ の両辺を $p^{n+1}$ で割ったり、$a_{n+1} = \frac{1}{p} a_n + f(n)$ の両辺に $p^{n+1}$ を掛けたりすることで、階差数列の形に持ち込むのは典型的な解法です。本問はその誘導が (1) で丁寧に与えられています。 (2) において、等比数列の和の公式を用いる際、公比が $1$ となる場合（本問では $p=-1$）を見落とさないように注意が必要です。文字が含まれる等比数列の和では、常に「公比が $1$ か否か」を確認する癖をつけましょう。