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北海道大学 2018年文系第4問解説

方針・初手

(1) 2つの関数の式を連立して $y$ を消去し、共有点の $x$ 座標を満たす3次方程式を作成する。$x=0$ を解にもつことが容易に分かるので因数分解し、残りの2次方程式が $x > 0$ の範囲に異なる2つの実数解をもつ条件（判別式、軸、端点）を考える。

(2) $C_1$ と $C_2$ の上下関係を把握し、面積 $S_1$ と $S_2$ を定積分で立式する。$S_1 = S_2$ という条件は、定積分の性質 $\int_0^\alpha g(x) dx + \int_\alpha^\beta g(x) dx = \int_0^\beta g(x) dx$ を用いると1つの等式にまとめることができる。この等式と、$\beta$ が2次方程式の解であることを利用して計算を進める。

解法1

(1) $C_1: y = x^3 + px^2 + x$ と $C_2: y = x^2$ の共有点の $x$ 座標は、方程式 $$x^3 + px^2 + x = x^2$$ の解である。これを整理すると $$x^3 + (p-1)x^2 + x = 0$$ $$x \{ x^2 + (p-1)x + 1 \} = 0$$ となる。 $C_1$ と $C_2$ が $x > 0$ の範囲に共有点を2個もつための条件は、2次方程式 $$x^2 + (p-1)x + 1 = 0 \quad \cdots (*)$$ が $x > 0$ の範囲に異なる2つの実数解をもつことである。

$f(x) = x^2 + (p-1)x + 1$ とおく。$f(x) = 0$ が正の異なる2解をもつ条件は、 (i) 判別式 $D > 0$ (ii) 放物線の軸の位置 $> 0$ (iii) $f(0) > 0$ をすべて満たすことである。

(i) について $$D = (p-1)^2 - 4 > 0$$ $$(p-1+2)(p-1-2) > 0$$ $$(p+1)(p-3) > 0$$ よって、$p < -1, 3 < p$ である。

(ii) について $y = f(x)$ の軸は直線 $x = -\frac{p-1}{2}$ であるから $$-\frac{p-1}{2} > 0$$ よって、$p < 1$ である。

(iii) について $$f(0) = 1 > 0$$ であり、これは常に満たされる。

以上より、(i), (ii), (iii) の共通範囲を求めて $$p < -1$$ となる。

(2) $0 < \alpha < \beta$ であり、$\alpha, \beta$ は方程式 $(*)$ の解であるから、解と係数の関係より $$\alpha + \beta = 1 - p \quad \cdots (1)$$ $$\alpha\beta = 1 \quad \cdots (2)$$ が成り立つ。

また、$g(x) = (x^3 + px^2 + x) - x^2 = x^3 + (p-1)x^2 + x$ とおくと、$g(x) = x(x-\alpha)(x-\beta)$ と因数分解できる。 $0 < x < \alpha$ の範囲では $g(x) > 0$ （すなわち $C_1$ が $C_2$ より上側）、$\alpha < x < \beta$ の範囲では $g(x) < 0$ （すなわち $C_2$ が $C_1$ より上側）である。

したがって、面積 $S_1, S_2$ は $$S_1 = \int_0^\alpha g(x) dx$$ $$S_2 = \int_\alpha^\beta \{ -g(x) \} dx = -\int_\alpha^\beta g(x) dx$$ と表される。

$S_1 = S_2$ より $$\int_0^\alpha g(x) dx = -\int_\alpha^\beta g(x) dx$$ $$\int_0^\alpha g(x) dx + \int_\alpha^\beta g(x) dx = 0$$ $$\int_0^\beta g(x) dx = 0$$ となる。

ここで、定積分を計算すると $$ \begin{aligned} \int_0^\beta g(x) dx &= \int_0^\beta \{ x^3 + (p-1)x^2 + x \} dx \\ &= \left[ \frac{1}{4}x^4 + \frac{p-1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 \right]_0^\beta \\ &= \frac{1}{4}\beta^4 + \frac{p-1}{3}\beta^3 + \frac{1}{2}\beta^2 \end{aligned} $$ となるから、 $$\frac{1}{4}\beta^4 + \frac{p-1}{3}\beta^3 + \frac{1}{2}\beta^2 = 0$$ である。$\beta > 0$ より両辺を $\beta^2$ で割って $$\frac{1}{4}\beta^2 + \frac{p-1}{3}\beta + \frac{1}{2} = 0 \quad \cdots (3)$$ を得る。

一方、$\beta$ は方程式 $(*)$ の解であるから、$\beta^2 + (p-1)\beta + 1 = 0$ を満たし、$(p-1)\beta = -\beta^2 - 1$ と変形できる。これを (3) に代入すると $$\frac{1}{4}\beta^2 + \frac{1}{3}(-\beta^2 - 1) + \frac{1}{2} = 0$$ $$\left( \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \right)\beta^2 - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = 0$$ $$-\frac{1}{12}\beta^2 + \frac{1}{6} = 0$$ $$\beta^2 = 2$$ $\beta > 0$ より、$\beta = \sqrt{2}$ となる。

(2) より $\alpha = \frac{1}{\beta} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ である。これと $\beta = \sqrt{2}$ を (1) に代入して $$1 - p = \frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$$ $$p = 1 - \frac{3\sqrt{2}}{2}$$ となる。この値は $1 - \frac{3\sqrt{2}}{2} = 1 - \sqrt{4.5} < 1 - \sqrt{4} = -1$ より、(1) で求めた条件 $p < -1$ を満たす。

次に、$S_1$ の値を求める。$g(x) = x^3 - (\alpha+\beta)x^2 + \alpha\beta x$ であることを用いて計算する。 $$ \begin{aligned} S_1 &= \int_0^\alpha \{ x^3 - (\alpha+\beta)x^2 + \alpha\beta x \} dx \\ &= \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{\alpha+\beta}{3}x^3 + \frac{\alpha\beta}{2}x^2 \right]_0^\alpha \\ &= \frac{1}{4}\alpha^4 - \frac{\alpha+\beta}{3}\alpha^3 + \frac{\alpha\beta}{2}\alpha^2 \\ &= \frac{1}{4}\alpha^4 - \frac{1}{3}\alpha^4 - \frac{1}{3}\alpha^3\beta + \frac{1}{2}\alpha^3\beta \\ &= -\frac{1}{12}\alpha^4 + \frac{1}{6}\alpha^3\beta \end{aligned} $$ $\alpha\beta = 1, \alpha^2 = \frac{1}{2}$ であるから、これを代入して $$ \begin{aligned} S_1 &= -\frac{1}{12}\alpha^4 + \frac{1}{6}\alpha^2(\alpha\beta) \\ &= -\frac{1}{12}\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \\ &= -\frac{1}{48} + \frac{1}{12} \\ &= \frac{3}{48} = \frac{1}{16} \end{aligned} $$

解説

(1) は3次方程式の実数解の条件を問う問題ですが、$x$ でくくることで2次方程式の解の配置問題（正の異なる2解をもつ条件）に帰着させるのが基本手順です。 (2) は「$S_1 = S_2$」という条件の処理が鍵となります。それぞれの面積を愚直に計算して等号で結ぶと計算が煩雑になりますが、$\int_0^\beta g(x) dx = 0$ と1つの定積分にまとめるのが典型的な処理です。さらに得られた方程式に対して、$\beta$ が元の方程式の解であることを利用して次数下げを行うことで、スムーズに値を求めることができます。