北海道大学 2021年 文系 第1問 解説

方針・初手

(1) は、数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ と一般項 $a_n$ の関係式である $a_1 = S_1$ と $a_n = S_n - S_{n-1} \ (n \geqq 2)$ を用いて一般項を求める。

(2) は、(1) で求めた一般項の逆数をとり、その和を求める。分母が積の形になっているため、部分分数分解を行い、項が連鎖的に打ち消し合う形を作り出す。

解法1

(1)

$n=1$ のとき、

$$ a_1 = S_1 = \frac{1}{6} \cdot 1 \cdot (1+1)(2 \cdot 1+7) = 3 $$

$n \geqq 2$ のとき、

$$ \begin{aligned} a_n &= S_n - S_{n-1} \\ &= \frac{1}{6}n(n+1)(2n+7) - \frac{1}{6}(n-1)n\{2(n-1)+7\} \\ &= \frac{1}{6}n\{ (n+1)(2n+7) - (n-1)(2n+5) \} \\ &= \frac{1}{6}n\{ (2n^2+9n+7) - (2n^2+3n-5) \} \\ &= \frac{1}{6}n(6n+12) \\ &= n(n+2) \end{aligned} $$

この式において $n=1$ とすると $1 \cdot (1+2) = 3$ となり、$a_1$ の値と一致する。

したがって、求める一般項は $a_n = n(n+2)$ である。

(2)

(1) の結果より、

$$ \frac{1}{a_k} = \frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right) $$

であるから、求める和は

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k} &= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+2)} \\ &= \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right) \\ &= \frac{1}{2} \left\{ \left( 1 - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1} \right) + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right) \right\} \\ &= \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right) \\ &= \frac{1}{2} \left\{ \frac{3}{2} - \frac{2n+3}{(n+1)(n+2)} \right\} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{3(n+1)(n+2) - 2(2n+3)}{2(n+1)(n+2)} \\ &= \frac{3(n^2+3n+2) - 4n - 6}{4(n+1)(n+2)} \\ &= \frac{3n^2+5n}{4(n+1)(n+2)} \\ &= \frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)} \end{aligned} $$

解説

(1) は $S_n$ から $a_n$ を導く基本問題である。$n \geqq 2$ での計算においては、展開せずに共通因数 $\frac{1}{6}n$ でくくって整理することで、計算ミスを減らしスムーズに一般項の形へ持ち込むことができる。

(2) は部分分数分解を利用する典型的な和の計算である。分解後、前から第1項と第2項の正の部分、後ろから第1項と第2項の負の部分が打ち消されずに残る点に注意して整理する。

答え

(1) $a_n = n(n+2)$

(2) $\frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$